О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 50

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Навпаки, сума відстаней від довільної точки P(x, y) кривої

x2 У2

+ 715- = 1,   a> b a2 b2

до точок Fi(—\Ja2 b2, 0) і F2(\Ja2 b2, 0) дорівнює 2a. Будь-яка гіпербола

x_ _ XL = 1

a2    b2 1

має властивість:

|pi Р2І = 2a,

де p1, p2 відстані від довільної точки гіперболи до двох фіксованих точок F1(^\/a2 + b2, 0) і F2(\/a2 + b2, 0). Ця властивість називається фо­кальною.

Таким чином, еліпс і гіпербола мають аналогічні властивості, а пара­болу з цієї точки зору ми не розглядали. Попробуємо включити параболу в одну систему з еліпсом та гіперболою.

Вправа. Описати геометричне місце точок площини, для яких від­ношення відстаней від фіксованої точки і фіксованої прямої, що не про­ходить через вибрану точку, є величина стала і дорівнює d = є.

Число є називається ексцентриситетом.

Розв'язування. Введемо на площині прямокутну систему коорди­нат так, щоб фіксована точка F лежала на осі Ox, а фіксована пряма l була перпендикулярна до осі Ox. Вісь Oy поки що фіксувати не будемо (рис. 129). Тоді пряма l задається рівнянням x = ci, а точка F має коор­динати (c, 0). Нехай відстань від точки F до прямої l дорівнює p. Якщо точка P(x, y) належить шуканому геометричному місцю точок, то

p = V(x c)2 + y2,   d = lx ci |; y*(x c)2 + y2 =Перетворимо одержане рівняння:

- с)2 + у2 = є2 - Сі)2, х2(1 - є2) + у2 - 2х(с - є2а) = є2с\ - с2.


 

(5.26)1. Нехай є ф 1. Виберемо вісь у так, щоб С\ = Jj. Тоді рівняння пря­мої І буде х = Jj. В цій системі координат рівняння (5.26) набуде виглядух2{1-г2) + у2 = %{1-г2).


(5.27)а) Нехай є < 1. Рівняння (5.27) запишемо так:це рівняння еліпса (рис. 130).

 

 

 

 

Fi     о   f ja

 

 

 

РисШ

 

Його півосі а = -, Ь = а\Л є2', с = \/а2 Ь2 абсциса фокуса;

ексцентриситет є = ^ = у 1 —    ) •

Доведемо, що точка F один із фокусів еліпса. Дійсно, абсциса фокуса дорівнює л/а2 Ь2 = л/а2 а2(1 є2) = с і співпадає з абсцисою точки F.

Пряма І називається директрисою еліпса. Рівняння директриси

с а х =      або х = -.

 

2 2

Із властивостей симетрії еліпса ^ + ^ = 1 випливає, що існують фокус F\ і директриса /і, симетричні, відповідно, F і Z відносно осі Оу.5.3. ГЕОМЕТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ КРИВИХ б) Нехай є > 1. Рівняння (5.27) запишемо так: у2


2 =1>

це рівняння гіперболи (рис. 131) ь

 

а ^7    д :її півосі а = |, 6 = а\/є2 1; с = \/а2 + о2 абсциса фокуса; ексцен-

триситет є = ^ = у 1 + (І) . Точка F(c, 0) — один з фокусів гіперболи. Пряма І : х =     = | директриса гіперболи.

З'ясуємо, як розташована директриса відносно гіперболи. Для гіпер­боли є > 1, тому директриса знаходиться лівіше вершини гіперболи (роз­глядаємо праву вітку гіперболи).

Симетрично відносно осі Оу розташовані другі фокус і директриса гіперболи.

 

2. Нехай є = 1. Виберемо вісь Оу так, щоб с = с\.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія