О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 51

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Рівняння (5.26) матиме вигляд у2 4сх = 0 — це рівняння параболи (рис. 132). Точка F називається фокусом параболи, пряма І директри­сою. Згадаємо канонічне рівняння параболи у2 = 2рх. Отже, 4с = і р = 2с. Але 2с це відстань між фокусом і директрисою. Таким чином, р відстань між фокусом і директрисою.

Отже, залежно від значень ексцентриситету шуканим геометричним місцем точок є або еліпс, або гіпербола, або парабола.

Справедливе і обернене твердження: кожна з цих кривих є геоме­тричне місце точок, відношення відстаней яких від фіксованої точки і фіксованої прямої, що проходить через цю точку, є величина стала.Проведемо через фокус пряму, паралельну осі Оу, в верхній півпло­щині вона перетне параболу в точці ро з координатами (с,р). Отже, від­стань від точки ро до осі Ох дорівнює р (рис. 132).

Розглянемо еліпс (гіперболу). Проведемо через фокус пряму, пара­лельну осі Оу, в / квадранті вона перетне еліпс (гіперболу) в точці ро (рис. 133).
РисШ

 

Знайдемо відстань від точки ро до осі Ох. Обчислимо спочатку від­стань do між фокусом і відповідною директрисою еліпса (гіперболи) F(c,0), І:х =


с = ає,   do =


аєАле        = є, звідси \poF\ = d


_   \с2-о?\ _Величину також позначимо через р, де р має єдиний геометричний зміст для еліпсів, гіпербол і парабол, і називається фокальним параме­тром.

Вправи.

1.  Із директоріальної властивості одержати фокальну властивість елі­псів (гіпербол), тобто з того, що g = є, одержати р\+р2 = {\р\—р2\

2.  Нехай на площині зафіксовані точки F\ і F2, М довільна точ­ка площини. Позначимо |M_Fi| і |Мі*2І, відповідно, через р\, р2. Знайти геометричне місце точок таких, що ^ = є = const.

3.  Замінимо фіксовані точки фіксованими прямими. Відстань від до­вільної точки М до цих прямих позначимо через d\,d2.

а)  Знайти геометричне місце точок, для яких d\ + d2 = const.

б)   Знайти геометричне місце точок, для яких ^ = є = const.Еліпс, гіперболу i параболу можна включити в одне сімейство кри­вих, виходячи з інших мiркувань.

2 2

Запишемо рівняння еліпса ^ +1^ = 1 в новій систємі координат, яка зв'язана зі старою формулами x' = x + a,  y' = y :

(x' - a)2 (y')2 a2     +  Ь2 '

Перетворимо останнє рівняння (в подальшому штрих опускаємо, тобто нову систему координат позначаємо через Oxy):

 

2 = Ь1 (2      _    2)=9 Ь1    _Ь1 2

a2                         a a2

Згадаємо, що p = ^ і для еліпсів Ь2 = a2 — с2. Тоді останнє рівняння прийме вигляд

2              (      с2 \ 2

y = 2px и aa^\ x'

Оскількіи a = є, то рівняння еліпса має вигляд

y2 = 2px x2(1 є2),  є < І.

Останнє рівняння можна розглядати як рівняння сімейства еліпсів, що залежать від є.

Якщо є = 0, то останнє рівняння описує коло.

22

Розглянемо гіперболу, що задана рівнянням ^2 ^ = 1' Запишемо рівняння правої вітки гіперболи в новій системі координат, яка зв'язана

x   = x a,

зі старою формулами <     y' =     '   (рис. 134):

(x' + a)2    (y')2 = .
a2            Ь2 1'

Перетворимо останнє рівняння (штрихи в подальшому опускаємо):

 

2   Ь2   Ь2 2

a a2

 

Оскільки a = Р і для гіперболи Ь2 = с2 a2, одержимо

 

2                2 (      с2 \

y = 2px x 11 a2 J 'Оскільки ^ = є, то рівняння гіперболи

у2 = 2рх х2(1 є2),   є > 1. Рівняння еліпса, параболи і гіперболи, відповідно, будуть

у2 = 2рх - (1 - є2)х2,   є < 1;


у2 = 2рх; у2 = 2рх — (1 — є2)х2,   є > 1. Якщо є >■ 1, то еліпс прямує до параболи (рис. 135).

Відомо, що є = f, тому для f —>■ 1 потрібно, щоб один із фокусів прямував до нескінченності, при цьому другий фокус прямує до фокуса параболи.

Якщо є —> 1, то права вітка гіперболи наближається до параболи.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія