О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 52

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Таким чином, рівняння у2 = 2рх — (1 — є2)х2 описує різні криві 2-го порядку при зміні є.

Якщо є = 0, то коло; якщо 0 < є < 1, то еліпс; якщо є = 1, то параболу; якщо 1 < є < оо, то гіперболу.

З'ясуємо, як змінюється форма еліпса і гіперболи при зміні значень

2 2

ексцентриситету. Розглянемо еліпс ^2 + fj = 1- Але Ь2 = а2(1 є2), тому

рівняння еліпса ^ + a2(f_£2) = 1-

Зафіксуємо а. Якщо є = 0, одержимо коло. Якщо є збільшується від 0 до 1 (0 < є < 1), піввісь Ь зменшується, еліпс «сплющується» до відрізка —а^х^а.

2 2

Розглянемо гіперболу ^2 fj = 1- Але б2 = а2 (є2 — 1), тому рівняння

Гіперболи ^ -        = 1.Зафіксуємо а і подивимось, як буде змінюватися форма гіперболи при зміні є. Якщо є —> +оо, гіпербола прямує до пари прямих х = ±а. Якщо є зменшується від +оо до 1 (1 < є < +оо), зменшується піввісь Ь, гіпербола «сплющується» (рис.137) до променів \х\ ^ а, у =
Еліпси і гіперболи з рівними є, але різними а, гомотетичні. Отже, ексцентриситет повністю визначає їх форму.

 

5.4   Рівняння кривих 2-го порядку в полярній си­стемі координат.

 

Рівняння еліпса в прямокутній системі координат Оху:

 

 

 

Введемо полярну систему координат (р, ір) наступним чином: полюс по­містимо в точку О, за полярну піввісь приймемо додатну піввісь осі Ох.

I   X = О cos LP

Тоді^     і рівняння еліпса в полярній системі координат буде
або

Р

Ми бачимо, що одержане рівняння дуже складне.
Розглянемо іншу систему координат: за полюс виберемо один із фо­кусів кривої 2-го порядку, за полярну піввісь пряму, що перпендику­лярна до директриси (напрям полярної осі від директриси до фокуса (рис.138)).

Ми знаємо, що для точок кривої 2-го порядку % = є. Але d = do+p cos tp. Отже, рівняння кривої 2-го порядку (еліпса, правої вітки гіперболи, параболи) в полярній системі координат

 

 

do + p cos tp

 

або

doe

Р = і              

1-е cos tp

Згадаємо, що doe = р, і запишемо рівняння еліпса, параболи, правої вітки гіперболи у вигляді

р

Р = і              

1-е cos tp

 

Оскільки d = \PF\ do = pcostp do (рис.139), то

 

 

pcos tp do

 

або

p

P =                

1 + Є cos if

для лівої вітки гіперболи.5.4.1   Орбіти планет.

В 1608 — 1609 p.p. криві 2-го порядку стали об'єктом природознав­ства. Коперник стверджував, що планети обертаються навколо Сонця. Кеплер показав, що планети обертаються по еліпсах, в одному із фокусів якого знаходиться Сонце.

Задача двох тіл. Нехай є два матеріальні тіла з масами т і М*, де маса М* значно більша т. І нехай відстань між ними така, що, не втрачаючи загальності, можна вважати тіла точками. Крім того, будемо вважати, що тіло з масою М* нерухоме, і що тіла утворюють замкнену систему, тобто інші тіла не впливають на них. Яка траєкторія руху тіла з масою ті

В подальшому для позначення тіл використовуємо ті ж букви т і М .

Розв'язування. На тіло т діє сила F, величина якої \F\ = GmJf , де G - константа тяжіння, г - відстань між т і М* (рис. 140). В механіці доведено, що траєкторія руху т є плоскою. В площині руху т введено прямокутну декартову систему координат з початком у точці М*. Нехай (Vx(t),Vy(t)) вектор швидкості тіла т в момент часу t,a(xo,yo)координати т при t = т


Згадаємо 2-й закон Ньютона та = F, де а - прискорення, і запишемо систему диференціальних рівнянь :

dVx _ GmM*x

dt        (ж2 _|_ у2) 2

dVy _ GmM*y

т

dt        (ж2 _|_ у2^2

х(0)=хо,  3/(0) = з/о,  Vx(0) = V01,  Vy(0) = V02.Розв'язавши систему, знайдемо траєкторію руху тіла m.

Щоб спростити систему диференціальних рівнянь, перейдемо до по­лярної системи координат, полюс якої помістимо в точку M*. Нехай (r, ф) - полярні координати. Використовуючи диференціальні рівняння, можна довести, що тіло m рухається по кривій 2-го порядку:

Р

1 є cos ф

Значення p і є мають наступний фізичний зміст. Енергія E систе­ми двох тіл m і M* стала (закон збереження енергії), оскільки система замкнена. Момент імпульсу M зберігається:

^    mV2 GM*m

E =                          = const,

2 r

і           і        2йф ds

M = \r x mV\ = mr = rm— = const, dt dt

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія