О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 53

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

де S(t) площа, що замітається радіус-вектором точки m від моменту часу t = 0 до моменту часу t. Фізичний зміст p і є наступний:

M2                  I           2EM2

p = Gm2 M*,  є = у1 +

Gm2M *'        у      G2m3(M *)2'

Звідси, якщо E < 0, траєкторією руху буде еліпс; якщо E = 0 — пара-
бола. Але
E = ^rf--- GMr m, тому траєкторію руху тіла m з фіксованою

точкою початку руху визначає його початкова швидкість.

Приклад. Під кутом а до горизонту вистрілили снаряд з початко­вою швидкістю V. Яка його траєкторія?

Розв'язування. Швидкість вітру, опір повітря ігноруємо, врахову­ємо лише силу тяжіння.

Виконується другий закон Ньютона ma = F, F = —mg. Звідси ax = 0, ay = —g. З іншого боку,

ax = dt, ay   dt

Таким чином, ^^ж. = —g, звідси Vy = —gt + ci, але Vy = ^, тому

-22" + cit + c2,  ^jjr = 0. Отже, Vx = c3, звідки x = c;it +

У  =       2    1 ^ 1 dt

Таким чином, одержана система рівнянь

J        x = c3t + c4,

I   y =       + ci t + c2.Для визначення констант скористаємося початковими умовами

ж(0) = 0, ж'(0) = Vo cos а, 2/(0) = 0,  г/(0) = И, sin а.

Одержимо ег = С4 = 0,  сі = Vo sin а,  сз = Vo cos а. Отже, траєкторія руху снаряда описується рівняннями

ж = Vot cos а,

at2

у = Vot sin а ^2~. Це параметричні рівняння параболи.

 

5.5   Дотичні до кривих 2-го порядку. Оптичні вла­стивості кривих.

 

5.5.1   Дотичні до кривих 2-го порядку.


Нехай 7 - елементарна крива і Ро, Р різні точки на ній. Пряма І, що проходить через точки Ро, Р називається січною. Коли Р> Ро, січна І наближається до деякого граничного положення Iq або границі немає (рис. 142). Якщо границя існує, то гранична пряма Іо називається дотичною до кривої в точці Pq.

Приклад. У графіка функції у = \х\ в точці Ро(0, 0) немає доти­чної. Зауважимо, що якщо функція у = f(x) Є С1, то в кожній точці (жо, Уо), ЩО належить графіку функції, дотична існує і задається рівнян­ням у - уо = f'{xo){x - хо) або

У-/Ы = /'Ы(ж-ж0). (5.28)

Розглянемо еліпс, який задано рівняннямВ околі довільної точки, що належить еліпсу, його можна задати явно: у = y(x) або x = x(y).

Розглянемо частину еліпса, що лежить у верхній півплощині y > 0. Вона задається рівнянням

 

/ X2

у = Ь 1 - -2

і              9 x

у = а

Ч1 - x

Нехай точка Po(xo,yo) належить еліпсу і уо > 0. Тоді

 

xo + у0 = л   y/(x ) =   b2 xo

~2 + Т2 = 1  у (xo) =      о.

a2    b2                         a2 yo

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія