О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 54

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Підставимо знайдені вирази в рівняння (5.28) і одержимо рівняння до­тичної до еліпса в точці (xo,yo):

b2 xo

У - yo =     2 (x - xo).

a2 yo

Звідси

xxo yyo

—2Г + Т = 1. (5.29) a2 b2

Аналогічно можна показати рівняння дотичної до еліпса в точці Po(xo, yo), де yo < 0.

Рівняння дотичної до еліпса в точці (a, 0) або (-a, 0) буде x = a або x = -a. Той же результат одержимо, якщо підставимо значення xo = ±a,  yo = 0 в рівняння (5.29).

Таким чином, рівняння (5.29) задає дотичну до еліпса в довільній точці Po(xo,yo), що належить йому.

Рівняння (5.29) задає пряму, нормаль якої n = (а0, Щ), і напрямний вектор т = (-$, $). °

Розглянемо (без доведення), як одержати рівняння дотичної, якщо крива задана неявно: F(x, у) = 0.

Нехай є функція двох змінних F(x,y). Якщо вважати у фіксованим, то F(x, у) стає функцією змінної x. Функція [Щ- = Fx називається ча­стинною похідною функції F по x. Аналогічно Fy = називаєтьсяНаприклад, F(x,y) = 4 + £ - 1,  Fx = °f,  Fy = Ш

частинною похідною функції F по y.

*— + У- - 1       г               г

а9 + b9       1 x = a9 ,    Fy = b9 Якщо крива задана рівнянням F(x, y) = 0, де F(x, y) має неперервні частинні похідні, F% + F2 = 0 в точці (xo,yo), що лежить на кривій, то рівняння дотичної до кривої в точці (xo,yo) буде

Fx(xo,yo)(x - xo) + Fy(xo,yo)(y - Уо) = 0. Приклад. Знайдемо вказаним способом дотичну до еліпса:

x2 У2

F(x,y) = a2 + Ь - 1

2xo,        \ і 2yo / . ■~2-(x - xo) + - yo) = 0,

 

а2 + b2

Вправа. Довести самостійно двома способами, що рівняння дотичної в точці (xo,yo) до гіперболиx2 y2

аа2 - b2 =

буде

xxo yyo а2 b2


1

 

 

1,рівняння дотичної до параболи

y2 = 2px

буде

yyo = p(x + xo).

Розглянемо ще один підхід до визначення дотичної до кривої 2-го по­рядку. Нехай точки Po(xo,yo) і P належать кривій 2-го порядку. Рівнян­ня січної, що проходить через точки Po, P:{


x = xo + a1t, y = yo + a21.


(5.30)Щоб знайти точки перетину кривої і прямої (5.30), потрібно розв'я­зати рівняння відносно t. Якщо P —ї Po, два розв'язки квадратного рівняння збігаються. Записавши умову того, що квадратне рівняння має подвійний корінь, одержимо рівняння дотичної.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія