О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 55

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Самостійно одержати рівняння дотичних до еліпса, гіперболи і пара­боли вказаним способом.5.5.2   Оптичні властивості кривих 2-го порядку.

Твердження 5.5.1. Світлові промені, що виходять з одного фокуса еліпса, після дзеркального відбиття від еліпса проходять через другий фокус, тобто дотична до еліпса у довільній його точці утворює рівні кути з променями, що виходять з точки дотику і проходять через фокуси (рис. 143).

Твердження 5.5.2. Світлові промені, що виходять з одного фокуса, після дзеркального відбиття від гіперболи, вважаються такими, що виходять з другого фокуса (рис. 144)-


Твердження 5.5.3. Промені світла, що виходять з фокуса, після дзер­кального відбиття від параболи утворюють промені, які паралельні осі симетрії параболи (рис.145).

Зауваження. Оптична властивість параболи знаходить широке за­стосування: параболічні прожектори, параболічні антени, параболічні дзеркала для використання сонячної енергії.

Доведення. Через довільну точку Р параболи проведемо дотичну І до параболи, пряму 1\, паралельну осі симетрії параболи, пряму 12, що проходить через точку F фокус параболи. Оскільки кут падіння дорівнює кутові відбиття, то для доведення досить показати, що кут між прямими І, 1\ дорівнює кутові між прямими І, І2- Для того щоб спростити обчислення, будемо доводити, що cos (п, а і) = cos (п, а2), де п нормаль до параболи в точці Р, а\, а2 напрямні вектори прямих її, І2, причому вони направлені в сторону опуклості параболи (рис. 146).

Виберемо прямокутну декартову систему координат, таку, щоб рівнян­ня нашої параболи в ній було у2 = 2рх. Нехай точка Р має координати (ж0, Уо)- Тоді ууо = р(х+х0) рівняння дотичної І, п = (р, -уо), F(f, 0),

аі = (1,0),    а2 = (- -х0,-уо)
cos(n, а і)
cos(n, а2)Таким чином, cos (п, а і) = cos (п, а2) що і потрібно було довести.

Твердження 5.5.1, 5.5.2 доводяться аналогічно. Довести їх самостій­но.

Розглянемо синтетичне доведення твердження 5.5.1.

Згадаємо розв'язання наступної задачі: дано пряму І і точки F\, F2, що розташовані по одну сторону від прямої. На прямій І потрібно знайти таку точку Р, щоб сума відстаней \FiP\ + \ PF2\ була найменшою. Зада­ча розв'язується так: будуємо точку Р, симетричну точці F\ відносно прямої І, з'єднуємо точки F\, F2 відрізком прямої її, шукана точкаце точка перетину прямих І, її. Отже, точка характеризується тим, що кут між прямими I, F\P дорівнює кутові між прямими I, F2P.

Згадаємо тепер, що еліпс це геометричне місце точок, сума відста­ней яких від двох фіксованих точок Fi, F2 (фокусів еліпса) є величина стала, рі + р2 = 2а. Еліпс опукла фігура, тому дотична І лежить поза еліпсом. Для точок, що лежать поза еліпсом рі + р2 > 2. Отже, на до­тичній І точка Р, для якої сума відстаней від точок Fi і F2 найменша, є точка дотику. Таким чином, кут між прямими I, PFi дорівнює кутові між прямими I, PF2, що і потрібно було довести (рис. 148).

Із цього доведення, як граничний випадок, одержується оптична вла­стивість параболи. Дійсно, раніше ми довели, що сімейство еліпсів, у яких фіксовані одна вершина і один фокус Fi, а другий фокус F2 йдена нескінченність на границі дасть параболу. Але якщо F2 —> оо, то PF2 прямує до прямої, що паралельна прямій F\F2.

 

5.6   Еліптична і еліпсоїдальна система координат.

5.6.1   Сімейство конфокальних (співфокусних) еліпсів і гіпербол.

2 2

Розглянемо множину еліпсів ^2 + = 1, що мають одну і ту ж пару фокусів, тобто с фіксуємо с2 = а2 б2, а змінюємо. Позначимо а через Л і запишемо рівняння сімейства співфокусних еліпсів так:

 

 

 

Оскільки сума відстаней довільної точки Ро(жо, уо) від фокусів F\(—c, 0), F2{c, 0) дорівнює деякому фіксованому числу 2Ло і Ло > с для будь-якої точки площини, крім точок відрізка —с^х^с, у = 0, то через точ­ку Ро проходить еліпс із сімейства (5.31) при Л = Ло- Із геометричної властивості еліпса випливає, що інший еліпс з даними фокусами через фіксовану точку Ро проходити не буде.

Якщо Л —> +00, еліпс (5.31) йде на нескінченність. Якщо Л прямує до с, то еліпс (5.31) прямує до відрізка —с^х^с, у = 0.

2 2

Розглянемо сімейство співфокусних гіпербол ^2 |j = 1) с фіксоване (с2 = а2 + б2), а змінюється. Позначимо а через і запишемо рівняння гіпербол так:

2 2

^ +   /   9 =1,   /і < с. (5.32)

Покажемо, що через кожну точку Ро(жо,Уо) площини, крім променів \х\ ^ с, у = 0, проходить єдина гіпербола сімейства, тобто знайдеться

таке, що ^ +             -1 = 0. Розглянемо функцію f{p) = ^ +               - 1,

визначену на інтервалі (0,с). Похідна f'{jj) = -^з{х1 +Уо) < 0 від'ємна5.6. ЕЛІПТИЧНА І ЕЛІПСОЇДАЛЬНА СИСТЕМИ


157в кожній точці області визначення функції f (р). Таким чином, функція строго монотонно спадає. При р 0 функція прямує до +оо, при р с функція прямує до —оо. Тому, з огляду на неперервність функції, існує значення р, при якому функція приймає значення 0. Внаслідок моно­тонності функції це значення єдине.

5.6.2       Еліптична система координат.

Нехай на площині задана декартова система координат. Нехай P довільна точка площини, що лежить на осях координат. Точка P має декартові координати (x, y). З іншого боку, точці P відповідають чи­сла X, р, що визначають еліпс (5.31) і гіперболу (5.32), які проходять через точку P. Числа (X, р) називаються еліптичними координатами точки P. Координатними лініями еліптичної системи координат є еліпси і гіперболи.

Очевидно, що декартові і еліптичні координати точки зв'язані рівнян­нями

x2 + y2  = 1  x__ y2  = 1

X2    X2 c2      '    р2    с2 р2 Звідси, якщо x > 0, y > 0, одержуємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія