О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 56

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

x = *    y = ^ C2)(C2 р2). (5.33)

cc

Доведемо, що еліптична система координат ортогональна, тобто в ко­жній точці, дотичні до координатних кривих перетинаються під прямим кутом. Обчислимо кут між нормалями до координатних ліній. Координати нормалей

 

 

 

Із формул (5.33) випливає, що < n\, n2 >= 0.

5.6.3       Еліпсоїдальна система координат.

Розглянемо три сімейства поверхонь другого порядку:

 

(X > —с2 > р > —b2 > v > —a2),

 

x2            y2 z2

2    ,     л    +          +      2    ,     л    =   1 (еЛІПC0Ї'Ди),

a2 + X    b2 + X    с2 + Xx2  y2 z2

_------- 1-- f---- 1-- _--

a2 + р    b2 + р    c2 + р

1 (однопорожнисті гіперболоїди),x2        y2 z2

_------- 1f----- 1—-—

a2 + v    b2 + v    c2 + v

1 (двопорожнисті гіперболоїди).Через кожну точку відкритого координатного октанту проходить по одній поверхні із кожного сімейства, тому ( , р, v) можна прийняти за координати точки відкритого октанту. Координати ( , р, v) називаю­ться еліпсоїдальними.

Вправа. Самостійно розглянути дані сімейства поверхонь. Знайти вираження декартових координат через еліпсоїдальні для точок відкри-

того октанту.Розділ 6

 

Загальна теорія кривих i поверхонь 2-го порядку

 

 

 

6.1   Про метричну класифікацію кривих 2-го по-

рядку.

Загальне рівняння кривої 2-го порядку має вигляд

ацх2 + 2a\2xy + a22V2 + 2a\3x + 2а2зУ + азз = 0. (6.1)

де af1 + af2+a^2 = 0. Сімейство кривих (6.1) 5-параметричне. Для задан­ня кривої 2-го порядку в загальному випадку необхідно задати 5 точок.

Зауваження. Одна і та ж крива в різних системах координат має різні рівняння. Розглянемо сімейство прямокутних декартових коор­динат на площині. Воно залежить від трьох параметрів. Одна пря­мокутна система координат одержується з іншої за допомогою пара­лельного переносу, повороту і осьової симетрії.

Перерахуємо окрємі випадки кривих 2-го порядку, що розглянуті ра-нішє.
еліпс;

точка;

 

порожня множина;

 

гіпербола;


5.

X2

а2

У2 _

ь2 ~

0   —    пара прямих, що перетинаються;

6.

У2

= 2рх

(р Ф 0)   — парабола;

7.

У2

= а2

    пара паралельних прямих;

8.

У2

= 0 -

пара прямих, що співпадають;

9.

У2

= -а2

    порожня множина.

Переліченими кривими вичерпуються всі криві 2-го порядку. А саме має місце:

Теорема 6.1.1. Для кривої 2-го порядку існує така прямокутна си­стема координат на площині, в якій рівняння цієї кривої прийме один з перелічених дев 'яти випадків.

Доведення. Нехай крива L має рівняння (6.1) в деякій прямокутній системі координат Оху. Перейдемо до нової системи координат Ох\у\, яка одержується із системи Оху за допомогою повороту на кут навколо точки О (рис.149). Тоді


J х = Х\ cos у\ sin (р, \ у = х\ sin ір + у\ cos ір.

Звідси

 

ацх2 + \2ху + а22у2 = ац(х\ coscp - у1 sinp)2+

+2а\2(х\ cos у\ sin (р)(х\ sin tp + у\ cos <р)+ +(і22{х\ sintp + у\ cos ір)2 = х\(ац cos2 ір + 2а\2 costp sintp+ +CL22 sin2 ф) + 2х\у\{—ац sin (p cos <p + a\2 cos 2(p+6.1. МЕТРИЧНА КЛАСИФІКАЦІЯ КРИВИХ 2-ГО ПОРЯДКУ 161

 

+й22 sin ф cos ф) + yl{a\\ sin2 ф 2ai2 sin ф cos ф + a22 cos2 ф).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія