О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 57

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Виберемо кут ф таким, щоб у новій системі координат коефіцієнт при x1y1 дорівнював 0, тобтоa!12 = a12 cos 2ф +


2


a22 a11


sin 2ф = Звідси випливає, що якщо a12 = 0, то еЬд2ф = ax2a "22 Якщо a12 = 0, то

ф = о. 12

Ми бачимо, що коефіцієнти рівняння (6.1) змінюються при зміні ко­ординат. Але є величини, що залежать від коефіцієнтів, які не зміню­ються при переході від однієї прямокутної системи координат до іншої. Такі величини називаються інваріантами. Наприклад

a'11 + a'22 = a11 cos2 ф + 2a12 cos ф sin ф + a22 sin2 ф+

+a11 sin2 ф 2a12 sin ф cos ф + a22 cos2 ф = a" + a22.

Перевірити самостійно, що a'na!22 (a12)2 = a11a22 a"^2.

Отже, рівняння кривої L в системі координат ОХ1У1, будеa'uX{ + a22y1 + 2*13X1 + 2*2ъУ1 + a'33 = 0.


(6.2)Розглянемо можливі випадки.

а) a11a22 = 0 (зауважимо, що оскільки a11a22 (a12)2 = a11a22 a212, тобто є інваріантом, і a12 = 0, то наше обмеження означає, що дискримінант рівняння (6.1) a11a22 a212 = 0).

Тоді

Перейдемо від системи координат Ox1y1 за допомогою паралельного переносу до системи координат O2x2y2, такої, що точка О2 в системі координат Ox1 y1, має координати (—^, a23), тобтоВ новій системі координат рівняння кривої L має вигляд

 

а'цх2, + а;22УІ + азз = 0, (6.3)

де п"    = а'     - 13)2 (а2з)2
де а33 = а33        a'11    a'22 '

Залежно від знаків *п,  П22,  а3'3 рівняння (6.3) задає

1.  (+ +—) — еліпс,

2.  (+ + 0) — точку,

3.  (+ +—+) — порожню множину,

4.  (+--- +) — гіперболу,

5.  (+— 0) — пару прямих, що перетинаються.

 

б) а'11а'22 = 0 (дискримінант рівняння (6.1) дорівнює 0.)

 

Для визначеності будемо вважати, що а'п = 0. Тоді рівняння (6.2) набуде вигляду

а22У2 + 2а/1зхі + 2аУі + а = 0. (6.4) Випадок б) розбивається на два підвипадки. (*) аіз = 0. Перетворимо рівняння (6.4) так:

 

 

а22і + а23)2 + 2аі + |к- -                      ) = 0.

а22                        2а13 2а13а22

Нехай тепер

Хі   І    азз                   (а23)

13     2а13а22 '

y2=уі+а?3 

В системі координат О2Х2У2 рівнянням кривої L є

6.   а22у2 + 2а'і3х2 = 0 — це рівняння параболи.
(**) аіз = Рівняння (6.4) набуде вигляду

а22У2 +Уі + а = 0;

перетворимо його:

а'220 + Н23)2 + а _ ^ = 0.

22 22

Перейдемо до нової системи координат O2x2y2, такої, що

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія