О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 59

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Якщо det А ф 0, то існує єдиний центр поверхні (кривої).

Якщо det А = 0, то система (6.8) або має нескінчену множину розв'яз­ків (коли ранг А дорівнює рангу розширеної матриці), або не має розв'яз­ків. Тобто в цьому випадку у поверхні (кривої) або нескінченно багато центрів, або немає центру.

Зауважимо, що систему (6.8) можна записати у вигляді

Fxi=0,   г = 1,2,3,  (г = 1,2), де Fxi частинна похідна функції F по змінній хг,   і = 1,2, 3, = 1,2).

 

6.2.2   Вісь симетрії кривої. Площина симетрії поверхні.

Нехай площина тт, що задана нормальним рівнянням

 

щх1 + П2Х2 + п3х3 + d = 0,  (пі)2 + (п2)2 + (п3)2 = 1


є площина симетрії поверхні F. Тоді, якщо точка Р(х1 ,х2,х3) належить поверхні F, то точка Р\, симетрична Р відносно площини 7г, також на­лежить F.

Знайдемо координати точки Р\. Нехай h відхилення точки Р від площини тт; п одиничний вектор нормалі площини тт; г, Г\ радіус-вектори точок Р, Р\ відповідно (рис. 151). Тоді РР\ = Хп, точніше РР\ = —2hn, Г\ = r 2hn, в координатній формі останнє рівняння запишеться так:

х\ = хг 2hrii,де

h = n\xl + n2x2 + n3x3 + d. (6.9) Координати (x^x^x3,) точки P\ задовольняють рівнянню (6.5)

aij(xi - 2hm)(xj - 2hnj) + 2bi(xi - 2hm) + c = 0.

Зауваження. В прямокутній системі координат індекси у координат нормального вектора n можна писати і зверху, і знизу, оскільки ni = = giknk, де gik = (ei, ek ), але для прямокутної системи координат

(ei, ek) = bik.

Перепишемо останню рівність, враховуючи зауваження. Одержимо

aijxixj + 2bixi + c + 4h2aijninj - 4hbini - 4haijxinj = 0, (6.10)

але aijxixj + 2bixi + c = 0, оскільки точка P(x1,x2,x3) належить поверхш F, i можна шдставити вираз h з рівності (6.9). Розділимо спочатку о6идві частини рівності (6.10) на -4h, вважаючи, що поверхня F не є подвійно вкритою площиною. Одержимо

aijxinj - aijninj      nixi + d + bini = 0. Зауваживши, що

'^nixi = 5ij xinj,

остаточно одержимо вираз

 

[aijnj - bij(akinknl)nj]xi + bini - aijninjd = 0.

Одержана рівність повинна виконуватися для всіх (x1,x2,x3), що задо­вольняють рівнянню (6.5), оскільки поверхня F не є подвійно вкритою площиною, то

aijnj - (aklnknl)5ijnj = 0,   bini - (aijninj)d = 0. (6.11)

Самостійно показати, що у випадку подвійно вкритої площини ми приходимо до тих же рівнянь.

Умови (6.11) необхідні для того, щоб nlxl + n2x2 + n3x3 + d = 0 була площиною симетрії поверхні F.В матричній формі умови (6.11) запишуться так:

An - Xn = 0,    (b, n) - Xd = 0, (6.12)

де

X = aij ninj. Розглянемо перше рівняння системи (6.11):

(aij X5ij )nj = 0   або   (A XE)n = 0;

 

n вектор нормалi площини п; отже, (n1)2 + (n2)2 + (n3)2 = 0, тому det(A XE) = 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія