О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

2.  Асоціативному: а + + с) = + Ь) + с.

Для доведення досить порівняти відповідні координати векторів, що стоять в правій і лівій частинах рівностей.

Для операції додавання векторів мають місце наступні правила.
Фізична інтерпретація властивості 4 — знаходження рівнодіючої сили, коли на матеріальну точку діє кілька сил.


Різницею векторів а = (а1, а2, а3) і b = (6і, б2, б3) називається такий вектор с = (с1, с2, с3), який в сумі з вектором b дає вектор а, тобто с + b = а. Звідси знайдемо координати вектора с = а — Ь. Отже, с1 = а1 Ь1, с2 = а2 Ь2, с3 = а3 б3, тобто а b = = (а1 -6і, а2 -Ь2, а3 -Ь3).

Добутком вектора а = (а1,а2,а3) і числа Л називається вектор Ха = аХ = (Аа1, Ла2, Ла3).

Властивості множення вектора на число.

1.  X(fj,a) = (А//)а;

2.  + /л)а = Ха + /ла;

А(а + Ь) = Аа + АЬ.Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні ко­ординати векторів, що стоять в правій i лівій частинах рівностєй.

4. а\ = \Х\ |. Причому напрям вектора Ха співпадає з напрямом вектора а, коли Х > 0, і протилежний напряму вектора а, коли Х< 0.

Доведення. 1) Нехай 0 < Х < 1. На промені OA разглянемо точ­ку B, яка ділить відрізок OA у відношенні (рис. 16). Нехай O(0, 0, 0), A(a1,a2,a3), B(bl,b2,b3). Тоді за формулами поділу від­різка у даному відношенні (1.5)

bl = (1 - Х)0 + Ха1 = j

 

аналогічно

b2 = Ха2,   b3 = Ха3, тобто, b = Ха, де b = oB, а = A.

2)  Нехай Х > 1. На промені OB розглянемо точку A, яка ділить відрізок OB у відношенні       (рис. 17).

Нехай O(0,0,0), A(aj,a2, a3), B(bj, b2, b3). Тоді за формулами (1.5)

у = - 1)0 + 1b1 = a =    Х - 1 + 1 =

звідки b1 = Xa1, аналогічно b2 = Xa2, b3 = Xa3, тобто b = Ха, де b = OrB, а = OA.

3)  Випадок X < 0 розглянути самостійно.

Таким чином, ми з'ясували геометричний зміст множення вектора на число.

 

 

1.4.5   Колінеарні вектори.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній або на паралельних прямих. Із властивості 4 множення вектора на число випливає, що два вектори колінеарні, коли їх координати пропорційні.

Покажемо, що вірне і обернене твердження: якщо два вектори а і b колінеарні, то їх координати пропорційні.Доведення. Якщо а = 0, то а = 0Ь. Нехай а ф 0. Через те, що а і Ъ колінеарні, вони лежать на одній або на паралельних прямих. Не втра­чаючи загальності, можна вважати, що а і b лежать на одній прямій.

Розглянемо два випадки.

і          и                         ■  тз \Ь\

1.  о і о сшвнапрямлеш. Введемо вектор с = що,, що сшвнапрямле-ний з а і для якого \с\ = \Ь\. Отже, с = Ь. Тому b = Ха, де А = щ.

2.  а і b протилежно напрямлені. Розглянемо вектор с = -|^|а; с

співнапрямлений з b і \с\ = \ Ь\, тому с = Ь. Звідси b = Ха, де А = —щ-

Отже, має місце

Твердження 1.4.1. Вектори а і b колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх координати пропорційні: b = Аа.

Вправи.

1.  Довести, що медіани трикутника, в свою чергу, можуть задавати сторони деякого трикутника.

2.  Нехай задано радіус-вектори вершин трикутника. Знайти радіус-вектори точки перетину медіан і точки перетину бісектрис трику­тника.

3.  Задано правильний n-кутник А\,...,Ап, центр якого розташова­ний у точці О. Довести, що

оґі + о? +... + оЙ = б.

4.  В просторі задано замкнений опуклий многогранник. Позначимо через Si і пі відповідно площу і одиничну нормаль г-ї грані, що напрямлена зовні. Довести:

SiHi + 5*2712 + • • • + SkUk = О1.4.6   Розкладання вектора по двох неколінеарних векто­рах.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія