О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 61

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Зауваження. Бсі міркування лишаються справедливими, якщо F крива, а п її вїсь симетрії.

 

6.3   Дотичні площини поверхні.

Згадаємо, що коли крива на площині задана рівнянням y = f (x) і f Є C1, то в кожній точці (xo,yo) кривої є дотична і її рівнянням буде У Уо = f '(xo)(x xo).

Вектор нормалі дотичної n = (f'(xo), —1), напрямний вектор доти­чної Т = (1,f' (xo)).

Нехай крива 2-го порядку задана рівнянням F(x, y) = 0, точка P(x0,y0) належить кривій. Якщо рівняння F(x, y) = 0 канонічне, то рівняння дотичної в точці P, якщо воно існує, набуде вигляду

Fx(xo ,yo)(x xo) + Fy (xo,yo)(y Уо) = 0.

Нехай крива 2-го порядку задана загальним рівнянням F(x, y) = = a11x2 + 2a12xy + ... = 0. В кожній фіксованій точці P(xo,yo) кривої, в якій F2 + F2 = 0, дотична існує (це буде доведено в курсі диференціаль­ної геометрії); в деякому околі точки P криву можна задати рівнянням y = f (x) або x = g(y). Не втрачаючи загальності, можна вважати, що в колі точки P крива задана рівнянням y = f(x) (якщо криву можна задати лише рівнянням x = g(y), перейменуємо x на y,   y на x.)

Таким чином, крива задана рівнянням F(x, y) = 0, F(xo, yo) = 0; в околі точки P(xo, yo) криву можна задати рівнянням y = f(x), yo = = f(xo); отже, в околі точки P буде

F (x,f (x)) = 0.

Продиференцюємо останню тотожність як складну функцію:

Fx + Fy f'(x) = Звідси вектор n = (Fx,Fy) перпендикулярний до вектора т = (1, f'(x)). Але To = (1, f'(xo)) напрямний вектор дотичної до кривої в точці P. Отже, вектор no = (Fx(xo, yo), Fy(xo, yo)) — нормаль дотичної в точці P, тому рівняння дотичної до кривої, заданої у вигляді F(x, y) = 0, в точці

P(xo, yo) буде

 

Fx(xo,yo)(x xo) + Fy (xo,yo)(y yo) = 0.

Приклад. F(x, y) = xy 1 = 0,    P(1, 1). Написати рівняння доти­чної в точці P?

Розв'язування. Fx = y,   Fy = x;    Fx(1,1) = 1,   Fy(1,1) = 1; рівняння дотичної x + y 2 = 0.

Розглянемо тепер поверхні 2-го порядку. Нехай поверхня задана рівнян­ням

 

F(x1 ,x2,x3)= aijxixj + 2bixi + c = 0,   i,j = 1,2,3, (6.13)

і нехай точка P(x1o, xo2, x3o) належить поверхні.

Проведемо площину п через точку P, вона перетинає поверхню по кривій 2-го порядку. Якщо сукупність дотичних до всіх плоских перере-зів поверхні, що проходять через точку P, заповнюють площину, то ця площина називається дотичною площиною поверхні в точці P.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія