О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 62

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

2     2 2

У вершині конуса ^ + yy2 ^ = 0 дотичної площини не існує. Не існує дотичної також в точках лінії перетину двох площин, заданих рівнянням

2      2                                                      2 2

^     = 0. Зауважимо, що рівняння ^ ^ = 0 задає конус у розумінні даного в 4.4 визначення.

Виведемо рівняння дотичної площини. Виберемо систему координат x1x2x3 так, щоб точка P співпадала з початком координат. Тоді коорди­нати P(0, 0, 0) і в рівнянні поверхні (6.13) вільний член дорівнює нулю. Отже, у вибраній системі координат рівняння поверхні

 

F (x\x2,x3) = aij xixj +2bixi = 0,   i,j = 1,2,3. (6.14)

 

Розглянемо вектор b = (b1, b2, b3). Якщо b = 0, то рівняння (6.14) задає одне із наступних геометричних місць точок:

(*) точку;

(*) пряму;

(*) невироджений конус 2-го порядку;(*) пару площин, що перетинаються по прямій, яка проходить через двічі вкриту площину.

Це можливо довести, записавши рівняння (6.14) в новій системі ко­ординат, базис якої складається з власних векторів матриці (aij). В цій системі координат рівняння поверхні буде канонічним. Очевидно, що у всіх випадках, крім останнього, дотичної площини в точці P не існує. Не існує її і в останньому випадку, оскільки перетин двічі вкритої пло­щини довільною, не паралельною їй, — двічі вкрита пряма, що не має дотичної.

Нехай b = 0. Не втрачаючи загальності, можна вважати, що \b\ = 1. Нехай п довільна площина перетину, що не перпендикулярна до век­тора b; d, c напрямні вектори площини, причому їх завжди можна вибрати так, щоб (b, d) = 0, (d, d) = 1, (c, d) = 0, (c, c) = 1; точка P — початок координат. Тоді параметричні рівняння площини п є

x = uc + vd,

або в координатній формі

xi = uci + vdi,   i = 1,2,3, (6.15)

де v, u ортогональні координати у площині п.

Щоб одержати рівняння кривої, що лежить у перетині поверхні пло­щиною п, потрібно підставити вирази (6.15) в рівняння (6.14). Тоді одер­жимо

aij (ciu + div)(cj u + dj v) + 2bi(ciu + div) = 0,

або

aij cicj u2 + 2aij cidj uv + aij didj v2 + 2biciu + 2bidiv = 0. (6.16)

Точці P відповідають u = 0, v = 0. Запишемо рівняння дотичної l до кривої (6.16) в точці P. Крива (6.16) задана рівнянням F(u,v) = 0. Знайдемо частинні похідні:

Fu = 2aij cicj u + 2aij cidj v + 2bi ci;

Fv = 2aij cidj u + 2aij didj v + 2bidi; Fu(0, 0) = 2bici = 2(b, c ),   Fv(0, 0) = 2bldi = 2(b, d ). Рівняння дотичної l в точці P:

(b, c )u + (b, d )v = 0;напрямний вектор дотичної т = (0, (b, c }), тому параметричне рівняння дотичної l в площині записується так:

v = (b, c) t,  u = 0. (6.17)

Щоб одержати рівняння дотичної l в просторі, потрібно підставити ви­рази (6.17) в (6.15). Тоді матимемо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія