О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 63

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

x = d b, c t.

Якщо площина перетину не перпендикулярна до вектора b, то (b, c } = 0 і дотичний вектор до перетину існує. З огляду на довільність вектора d L b дотичні вектори повністю заповнюють площину, перпендикулярну до вектора b. Отже, вектор b = (bi, b2, b3) нормаль дотичної площини. Маємо також bi = Fxi (0).

Таким чином, запишемо рівняння дотичної площини у точці P в на­шій спеціальній системі координат:

Fxi (0)x1 + Fx2 (0)x2 + Fx3 (0)x3 = 0.

Нехай тепер система координат xlx2x3 довільна, тоді (x^x"2^3)) координати точки P, рівняння поверхні це вираз (6.13). Перейдемо до нової системи координат xl,x2,x3 наступним чином: xi = xi + x0.

В новій системі координат точка P співпадає з початком координат, а рівняння поверхні буде:

aij (xi + x0)(xj + x0) + 2bi (xi + x0) + c = 0,

або

xixj + 2aij xcixjQ + aij x^x"^ + 2bixi + 2bix^ + c = 0.

Але aijx0x0 + 2bix0 + c = 0, тому рівняння поверхні в новій системі координат має наступний вигляд:

aij xixj + 2(aij xj0 + bi)xi = 0.

Згідно доказаному раніше n = (a\jxj0 + b\, a2jxj0 + b2, a3jxj0 + b3) є вектор нормалі дотичної площини до поверхні в точці P, отже, рівняння дотичної площини в новій системі координат набуде вигляду:

(aij xj0 + bi)x1 + (a2j xj0 + b2)x2 + (a3j xj0 + b3)x3 = 0.

Легко бачити, що

aijxj + bi = о Fxi (x0,x0 ,x^).Запишемо тепер рівняння дотичної площини до поверхні в точці P в старій системі координат:

 

Fx1 (xO,xO,xo)(xl xo) + Fx2 (xO,xO,xo)(x2 xo) + Fx3 (xO,xO,x3)(x3, xf)).

 

З'ясуємо, як розташована поверхня 2-го порядку відносно дотичної площини. Якщо в перерізі поверхні дотичною площиною лежить точка, поверхня розташована по одну сторону від дотичної площини. При цьому ми маємо на увазі ту зв'язну компоненту поверхні, де лежить точка, в якій ми проводимо дотичну площину.

Якщо в перерізі пара прямих злилася, поверхня лежить по одну сто­рону від дотичної площини (це циліндр або конус). Якщо в перерізі пара прямих перетинається, поверхня лежить по обидві сторони від дотичної площини.

Нехай Ф довільна поверхня другого порядку; P будь-яка точ­ка поверхні, в якій є дотична площина. Якщо через точку P проходять прямолінійні тверні поверхні, вони обов'язково лежать у дотичній пло­щині. Виберемо систему координат спеціальним чином; точку P прийме­мо за початок координат (тоді рівняння поверхні Ф буде мати вигляд aijxixj + 2bixi = 0), дотичну площину за площину Oxlx2. Тоді оди­нична нормаль n = X(bi,b2,b3) дотичної площини буде напрямлена по осі Ox-3 і, отже, буде мати координати (0, 0,1). Тому у вибраній системі координат рівняння поверхні Ф буде:

 

aij xixj + 2b3x3 = 0. (6.18)

 

З'ясуємо, яка максимальна кількість прямих поверхні лежить у до­тичній площині. Рівняння дотичної площини до поверхні (6.18) в точці P(0, 0, 0) буде x3 = 0. Знайдемо переріз поверхні дотичною площиною:

x3 = 0,

ail(x1)2 + 2ai2xlx2 + a22(x2)2 = 0;

це або точка, або пара прямих, що перетинаються, або пара прямих, які збігаються. Отже, максимальна кількість прямих, що проходять через точку P і лежать на поверхні, дорівнює 2, якщо поверхня Ф не виро­джується в пару площин.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія