О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 64

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Вправа. З'ясувати питання про існування кругових перерізів на по­верхнях другого порядку.

Вказгвка. Розглянути поверхні в канонічному вигляді.6.4   Інваріанти i форми кривих (поверхонь) 2-го порядку

Нехай крива 2-го порядку задана загальним рівнянням. Ми знаємо, що існує система координат, в якій рівняння кривої має канонічний ви­гляд.

Природно виникають питання:

1)  Як перейти від загального рівняння до канонічного?

2)  В різних системах координат одна і та ж крива F має різні рівнян­ня. При переході від них до канонічних рівнянь чи будуть останні співпадати?

Нехай рівняння кривої (поверхні) 2-го порядку в деякій системі ко­ординат має вигляд:

aij xixj + 2bixi + c = 0,   A = (aij). (6.19)

В іншій прямокутній системі координат, з тим же початком координат рівняння цієї ж кривої (поверхні) буде:

a\j xixj + 2bixi + c1 = 0,   A1 = (aj). (6.20)

 

Координати xi і xi зв'язані формулами:

xi = cijx j. (6.21)

де матриця C = (cj) ортогональна, тобто CC * = E   (C* транспону­вання матриці C). Ортогональність матриці C випливає з того, що ми здійснюємо перехід від одного ортонормованого базису e = (ei,e2, e3) до другого Є = (ei,e2, e3), тобто (ei, ej) = bj і (ei, ej) = bj, а ei = cj ej. Матриці A і Ai зв'язані так:

A1 = CAC*.

Щоб одержати цей зв'язок, потрібно формули (6.21) підставити у (6.19) і одержаний результат порівняти з виразом (6.20).

Доведемо, що характеристичні поліноми матриць A і A1 співпадають, тобто що

det(A XE) = det(A1 XE).

Дійсно, det(A1 XE) = det(CAC* XCC*) = det(C(A XE)C*) = = det C det(A XE) det C* = det(A XE).Отже, характеристичні поліноми рівнянь (6.19) і (6.20) співпадають. Тому співпадають корені і коефіцієнти цих многочленів, тобто корені і коефіцієнти характеристичного многочлена не залежать від вибору си­стеми координат і є інваріанти кривої (поверхні).

Випишемо ці інваріанти.

Для кривоїdet (A XE) = det


(


a 11 X     a 12 a 2      a22 X


)


X2 (a 11 + a22)X++ det

( a 11  a 12 ) =(Xi X)(X2 X) = X2 (Xi + X2)X + X1X2, a 2 a22

де X , X2 власні числа матриці A. Отже, інваріанти кривої:

 

Ii = a 11 + a22 = X1 + X2,I2 = det


( a 11   a 12 \ a 2 a22


a   a22 a22 = X X2.Для поверхніdet (A — XE) = det


a 11 X

a 2 a 3 a 2 a22 X a23

a 3 a23

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія