О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 65

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

a33-x


(X —X)(X2—X)(X3—X)—X3 + X2(X 1 + X2 + X3) X(X 1X2 + X1X3 + X2 X3) + X iX2X:i—X3+X2(a 1 i+a22+a33)—X


a22 a23 a23 a33


+


ai 1 ai3

a 3 a33


+


a11 a12 a 2 a22a 11 a 12 a 13 a 2 a22 a23 a 3   a23 a33

де X , X2, X3 власні числа матриці A. Отже, інваріанти поверхні:

 

I2


a22 a23 a23 a33


I

 

+


+

a 11 + a22 + a33 = X1 + X2 + X3,

 

X     + X2X3 + X iX3,

a 2 a22I3


a 11 a i2 a ц a 2 a22 a23 a 3   a23 a33 = X X2X3.Ці інваріанти називають ще інваріантами квадратичної форми.Зауваження. Ми довели, що вирази Ii інваріантні відносно повороту осей координат. Але Ii інваріантні і при паралельному переносі осей ко­ординат, оскільки паралельний перенос не змінює квадратичну частину рівняння.

Є ще один інваріант кривої (поверхні): інваріант не квадратичної форми, а всієї кривої (поверхні).

Розглянемо випадок кривої. Рівняння кривої запишемо так:

 

a11(x1)2 + 2a12x1x2 + a22(x2)2 + 2a13x1 + 2a23x2 + a33 = 0. (6.22)

(

ац   ai2   ai3 \ ai2   a22   a23  I , ai3   a23 a33

визначник цієї матриці називається дискримінантом кривої.

(

a11    a12    a13 \ ai2   a22   a23   I є її інваріант. a13    a23    a33 /

 

Доведення. Введемо однорідні координати y1,y2,y3.

 

1    У1      2 У2

У3 У3

якщо однорідні координати пропорційні, то їм відповідає одна і та ж точка. Рівняння кривої (6.22) в однорідних координатах буде

 

aijУІУ3 = 0,    i, j = 1, 2, 3,    A = (aij).

 

Перейдемо від системи координат x1,x2 (y1,y2,y3) до системи x1,x2 (У1,У2,У3), повернувши осі x1 ,x2 на кут ф навколо початку координат. Тоді

J x1 = x1 cos ф x2 sin ф, \ x2 = x1 sin ф + x2 cos ф.

Такому перетворенню координат відповідає наступне перетворення одно­рідних координат:

У1 = У 1 cos ф — У 2 sin ф, У2 = У 1 sin ф + У 2 cos ф,

У3 = У 3.Матриця переходу від нових однорідних координат до старих є

(

cos ф   sin ф   0 \
sin ф    cos ф    0  I ,
0              0       1 )

і det C = 1.

У нових однорідних координатах рівняння нашої кривої буде

 

a1j yiyj =0,   i,j = 1,2,3,   A1 = (a1j).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія