О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 66

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Але ми знаємо, що A1 = CACt, звідси det A = det A1, тобто дискри­мінант кривої не змінюється при повороті осей координат. Розглянемо паралельний перенос

j x1 = x1 + d1, \ x2 = x2 + d2.

Такому перетворенню відповідають наступні перетворення однорідних координат:

У1 = У1 + d1y3, У2 = y2 + d2y3,

y3 = У3;

матриця цього перетворення

/ 1   0  d1 \ C = I  0   1   d2  J ,

001

 

і det C = 1, отже det A = det A1, де знову A і A1 матриці нашої кривої в старій і новій системах координат відповідно, A1 = CAC1. Таким чином, наше твердження повністю доведено.

и

Аналогічно доводиться, що дискримінант поверхні, заданої рівнян­ням

a11(x1)2 + 2a12xlx2 + a22(x2)2 + 2a13xlx3 + 2a23x2x3+

a11 a12 a13

+a33(x3)2 + 2a14xl + 2a24 x2 + 2a34x3 + a44 = 0, (6.23)

I4 = det

av2  a13   a14 \

a22 a23 a24
a23

a24 J6.4. ІНВАРІАНТИ І ФОРМИ КРИВИХ (ПОВЕРХОНЬ) 179 є інваріант.

Використовуючи інваріанти, можна привести рівняння кривої (по­верхні) до канонічного вигляду.

Розглянемо випадок кривої. Нехай в деяких системах координат кри­ва задана рівнянням (6.22): Лі, Л2;

ї\ = ац + (2,22 = Лі + Л2, І2 = a11a22 a12 =

аіі   аі2 аіз Із = det І  аі2   a22 а2з

аіз   а азз

інваріанти кривої.

Розглянемо всі можливі випадки.

 

1) I2 = 0, тобто ЛіЛ2 = С

 

Виберемо систему координат так, щоб осі координат мали напрям власних векторів, а центр кривої був початком координат. Тоді рівняння кривої прийме вигляд

Характеристичний многочлен цього рівняння: det ( 211    Л       0 )

0      а22 Л

 

аіі (X1)2 + a22(x2)2 + азз = 0.

 

et аі

0      а22 Л

Отже, ац = Лі,   а22 = Л2.

Щоб знайти коефіцієнт азз, потрібно використати інваріант Із:
Лі 0 0 0 Л2 0 0  0 азз

 

ЛіЛ2азз = І2азз.Звідси азз =

І2-

Таким чином, канонічне рівняння кривої знайдено:

 

Лі(Х1)2 + Л2(Х2)2 + ^ = 0.

2

 

2) 2 = 0,   з = В деякій системі координат рівняння кривої набуде вигляду

а22(Х2)2 +ізХ1 = 0

(див. 6.2)

Будемо вважати, що Л1 =0 (зауважимо, що одночасно Л1, Л2 не можуть дорівнювати нулю). Тоді а22 = Л2,з


0   0 аіз 0   Л2 0 аіз  0 0 і(аіз)2,звідси


аіз4-

Таким чином, канонічне рівняння кривої в цьому випадку набуде вигляду

Л2(Х2)2 + 21

з

= 0.

h

3) І2 = 0,   Із = 0.

 

В деякій системі координат рівняння кривої прийме вигляд

а22(Х2 )2 + азз = 0.

Зауваження. Рівність нулю інваріанта Із є критерій виродженості кривої 2-го порядку.

Приклад. Нехай крива задана рівнянням

5x2 + 8xy + 5y2 18x 18y + 9 = 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія