О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 67

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Зауважимо, що коли крива невироджена, то у випадку, коли   2 = = Л1Л2 > 0, це еліпс, І2 =0 парабола, І2 < 0 — гіпербола. Обчислимо І2 для нашої кривої:2


5 4 4 5


= 25 — 16 = 9 > 0,крива еліптичного типу.

Знайдемо корені характеристичного многочлена:5 — Л 4

4     5- Л


(5 Л)2 16 = (5 — Л — 4)(5 — Л + 4) = 0,Лі = 1, Л2 = 9. Обчислимо
5 4

-9 4 5

9


 

9


5 4 9 4 5

9


 

1


-81;І3 = 0 нерозпадна крива.

В деякій системі координат Oxy рівняння нашої кривої x2+9y2—9

або

9 + 1

x2

1,


 

0,це рівняння еліпса.

Початок системи координат OXy збігається з центром кривої. Зна­йдемо центр кривої в систємі координат Oxy, координати центра задо­вольняють систємі рівняньі Fx = 0, Ґ


5x + 4y — 9 = 0, 4x + 5y — 9 = 0;звідси знаходимо Xц = 1, Уц = 1. Таким чином, ми знайшли точку Оі(1,1) на площині Oxy, яка є початком нової системи координат Oxy.

Знайдемо напрями осей нової системи координат. Нові осі осі си­метрії кривої, нормалі осей симетрії кривої власні вектори відповідноїматриці. Власні числа ми знайшли: вектори, що відповідають їм.

Л1 = 1, Л2 = 9. Знайдемо власніВони задовольняють рівнянню (A ЛЕ)n ДаліЛі = 1,  A ЛіЕ


44 44Тоді (A ЛіЕ)n


44 44


Пі П2 Звідси отримали систему рівнянь:

0,

0.

Цій системі за-

4пі+ 4n2 4пі+ 4n2

довольняє вектор (пі,п2) з координатами пі = 1,  n2 = —1.

(____ L)

(V2, V2).

Таким чином, перший власний вектор, базисний вектор нової системи і

координат еі

Аналогічно знаходимо другий базисний вектор нової системи коор­динат (рис.152):Л2 = 9,  A Л2Е


44 —444п\ + 4п2 Ап\ 4п2


О О


Пі = 1,    п2 = 1,    е2 = (


V2' х/2
Зауваження. Власними векторами є і протилежно направлені векто­ри —ё\, — ё2. Вибираючи певні власні вектори за базисні вектори нової системи координат, ми або зберігаємо орієнтацію площини, або змі­нюємо її на протилежну.

Знайдемо формули переходу від системи координат 0\ху до систе­ми Оху. Щоб одержати із системи Оху систему 0\ху, потрібно зробити паралельний перенос і поворот. Паралельний перенос задається форму­лами

J х = х + 1,

І У = г7 + і-


матриця переходу від старого базиса до нового


Старий базис е = (еі, е2) і новий базис ё = (ei, е~2) зв'язани формулами

Використовуючи транспоновану матрицю С*, запишемо формули пере­ходу від координат х, у до координат х, у :Таким чином, формули переходу від координат x,y до координат X, y

мають вигляд
Зауваження. Якщо спочатку зробити поворот системи координат Oxy, щоб одержати систему OXy, а потім паралельний перенос OXy, щоб одержати систему координат O\Xy, то потрiбно пам'ятати, що координати точки O\ в системi координат OXy не будуть дорiвнювати

(1,1).

Розглянемо випадок поверхш, використовуючи iнварiанти для приве­дення рівняння поверхш 2-го порядку до канонічного вигляду, доведемо класифікаційну теорему.

Теорема 6.4.1. Для поверхні 2-го порядку існує така прямокутна де­картова система координат у просторі, в якій рівняння цієї поверхні прийме один з перелічених 17 виглядів (див. 5.2), тобто переліченими поверхнями вичерпуються всі поверхні другого порядку.

Доведення. Нехай у деякій систємі координат поверхня задана рівнян­ням (6.23). Розглянемо можливі випадки.

1. І3 = 0, тобто Л1Л2Л3 = 0.

Виберемо систему координат так, щоб осі координат мали напрями вла­сних векторів, а центр поверхні був початком координат. Тоді рівняння поверхні набуде вигляду

aii(X1)2 + a22(X2)2 + a33(X3 )2 + a44 = 0.

 

Характеристичний многочлен цього рівняння
Отже, a11 = Л1, a22 = Л2, a33 = Л3. Коефіцієнт a44 знайдемо, викори­стовуючи інваріант І4 :І4


Л1 0 0 Л2 00 00


0 0

Л3

0


0 0 0


Л1Л2 Лзa44 = I4a44,звідси a44 = т|.

Таким чином, канонічне рівняння поверхніЛ^1)2 + Л2^2)2 + Л3^3)2 +

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія