О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 68

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

І4 І3 Залежно від значень коефіцієнтів останнього рівняння воно задає наступ­ні поверхні:

1)   (+++-) — еліпсоїд;

2)   (+++0) точку;

3)   (++++) — порожню множину;

4)   (++--- ) — однопорожнистий гіперболоїд;

5)   (++—0) — конус;

6)   (++—+) — двопорожнистий гіперболоїд.

2. І3 = 0, І4 = 0.


Діючи аналогічно випадку 2 для кривих, одержимо наступне канонічне рівняння поверхні:

Залежно від значень коефіцієнтів рівняння задає такі поверхні:

7)   (++) — еліптичний параболоїд;

8)   (+—) — гіперболічний параболоїд.

3. І3 = 0, І4 = 0, І2 = 0

Рівняння (6.23) можна привести до вигляду

 

 

 

і залежно від значень коефіцієнтів одержати поверхні:

 

9) (++—) — еліптичний циліндр;

11)  10) (++0) пряму;(+++) — порожню множину;

12)  (+--- ) — гіперболічний циліндр;

13)  (+—0) — пару площин, що перетинаються.

3*. І4 = 0,    І3 = 0,    І2 = 0.

Рівняння (6.23) приводиться або до вигляду

Л^1)2 + a24X2 = 0,

що дає

14) параболічний циліндр
або до вигляду

Л^1)2 + a44 = 0, що залежно від значень коефіцієнтів задає

15)  (+—) — пару паралельних площин;

16)  (+0) — пару площин, що співпадають;

17)  (++) — порожню множину.

Зауваження. Is доведення теореми випливає, що рівність нулю інварі­анта І4 є критерій виродженості поверхні 2-го порядку. До вироджен­ня поверхонь відносяться конуси, циліндри, поверхні, що розпадаються на лінійні образи.

 

6.4.1    Асимптоти гіперболи. Асимптотичний конус гіпер­болоїда.

Нехай гіпербола задана рівнянням

 

F = a11(X1)2 + 2a12X1X2 + a22(X2)2 + 2a13X1 + 2a23 x2 + a33 = 0. (6.24)

Перейдемо до системи координат OX1X2, в якій рівняння гіперболи має канонічний вигляд:

F = Л^1)2 + Л2^2)2 +І3 = 0.

2В цій системі координат асимптоти задаються рівнянням

(х1)2 + Х2(х2)2 = 0,

тобто

F - £ = 0.

Якщо тепер перейти знову до координат x1, x2, то рівняння асимптот гіперболи (6.24) буде

F - £ = 0.

2

Проводячи аналогічні мiркування для однопорожнистого або двопо­рожнистого гіперболоїда

 

F = a11(x1)2 + 2a12x1 x2 + ... + a44 = 0,

 

одержимо рівняння його асимптотичного конуса:

F - 1 = 0. Із

На практищ приводити рівняння до каношчного вигляду доводиться не часто. Частіше по загальному рівнянню кривої (поверхні) потрібно вміти пізнавати, що це за крива (поверхня). При цьому суттєво викори­стовуються інваріанти.

Розглянемо спочатку криві 2-го порядку. Нехай крива задана загаль­ним рівнянням

 

anx2 + 2ai2xy + a22y2 + 2аіз x +У + азз = 0.

Форму кривої визначає інваріант І2 = a11a22 a2^ = Х1Х2, де Х1, Х2 корені характеристичного многочлена кривої.

1.  Якщо І2 = 0, то крива центральна, тобто еліпс, гіпербола, точка чи порожня множина. Точніше,

(*) якщо І2 > 0 еліпс, точка або порожня множина;

 

(**) якщо І2 < 0 гіпербола.

Якщо І2 = 0 — крива нецентральна, тобто або парабола, або виро­джена крива.Крива вироджена тоді i тільки тоді, коли інваріант
ац
   0-12 аіз

0-12    022 023

а1з   а2з азз


Якщо І2 = 0,  Із = 0 — крива є парабола.

Щоб довести наведені вище твердження, досить їх перевірити для канонічних рівнянь, оскільки І2з інваріанти.

Розглянемо тепер поверхні 2-го порядку. Нехай поверхня задана за­гальним рівнянням

ацх2 + 2ai2xy + a22y2 +із xz + 2a23yz + азз^2+

 

+2а14х + 2a24y + 34z + а44 = 3. Якщо інваріант Із

= 0 — поверхня центральна і

а11 а12 а1з а21 а22 а2з аз1   аз2 азз

має один центр, тобто еліпсоїд, однопорожнистий гіперболоїд, дво-порожнистий гіперболоїд, конус, точка або порожня множина.

4. Якщо Із = 0, поверхня нецентральна; серед невироджених повер­хонь це — еліптичний параболоїд або гіперболічний параболоїд.а11


а145. Якщо інваріант І4


0


поверхня вироджена,а14    ... а44

тобто конус, цилтдр, прямі, площини або порожня множина.

Розглянемо поверхні, що мають точки, в яких є дотичні площини. Ыва-ріант І4 визначає форму поверхні.

Обчисливши інваріант І4 для канонічних рівнянь, впевнюємося, що коли

a) І4 < 0, то поверхня елтсоїд, двопорожнистий гтерболоїд або еліптичний параболоїд;b) І4 = 0, то поверхня площин;


конус, цилтдр або розпадається на паруc) І4 > 0, то поверхня однопорожнистий гіперболоїд або гіперболі­чний параболоїд.Теорема 6.4.2. Якщо I4 < 0, то поверхня опукла, вона лежить по одну сторону від дотичної площини, має з нею одну спільну точку.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія