О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 69

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Якщо I4 = 0 i поверхня не розпадається на пару площин, то поверх­ня лежить по одну сторону вiд дотичної площини, має з нею спільну пряму.

Якщо I4 > 0, то поверхня лежить по обидвi сторони вiд дотичної площини, має з нею спільні дві прямі, що перетинаються.

Доведення. Виберемо систему координат спеціальним чином: по­чаток координат помістимо в точку, що належить поверхш, вісь Ox3 напрямимо по нормалi до поверхш в цій точці. Тоді рівняння дотичної площини в цій точці, яка співпадає з площиною Ox1x2, буде x3 = 0, а рівняння поверхні має наступний вигляд:

 

aij xixj + 2x3 = 0.

 

Обчислимо інваріант I4 поверхні в цій системі координат:

 

(a11a22 — a22 )■Знайдемо переріз нашої поверхні дотичною площиною:

 

a11(x1)2 + 2a12x1x2 + a22(x2)2 = 0,   x3 = 0.


 

(6.25)Можливі три випадки:

1)  Якщо a11a22 a22 > 0, тобто I4 < 0, то система (6.25) має єдиний розв'язок — (0, 0, 0). Отже, поверхня опукла. Це еліпсоїд, еліпти­чний параболоїд, компоненти зв'язності двопорожнистого гіпербо­лоїда.

2)  Якщо a11 a22 a22 = 0, тобто I4 = 0, то розв'язком системи (6.25) є пара прямих, що злилися. Поверхня конус або циліндр.

Якщо a11 a22 — a\_2 < 0, тобто I4 > 0, то (6.25) задає пару прямих, що перетинаються. Поверхня однопорожнистий гіперболоїд або гі­перболічний параболоїд. Таким чином, через кожну точку однопо-рожнистого гіперболоїда чи гіперболічного параболоїда проходять дві прямі, що лежать на поверхні.У першому випадку точки поверхні називаються еліптичними, у другому параболічними, в третьому гіперболічними.

Всі точки фіксованої поверхні 2-го порядку належать одному типу, оскільки інваріант /4 не залежить від точок поверхні.

Для інших поверхонь це не так. Наприклад, на торі є і еліптичні, і параболічні, і гіперболічні точки: А еліптична, В параболічна, С — гіперболічна точка (рис. 153).

 

 

 

6.5   Прямолінійні твірні на поверхні 2-го порядку

Розглянемо невироджені поверхні, циліндри і конуси. Не втрачаючи загальності, можна вважати, що поверхні задані канонічними рівнян­нями.

1. Еліпсоїд

х2     у2 Z2

---- Ь Н-- = 1.

а2    Ъ2 с2

На еліпсоїді немає прямих, оскільки це обмежена поверхня. 2. Двопорожнистий гіперболоїд

х2    У2    z2 _ ^ а2     Ъ2 с2

Оскільки /4 < 0 і дотична площина має з поверхнею тільки спільну точку, то на двопорожнистому гіперболоїді немає прямих ліній.

3. Еліптичний параболоїдОскільки I4 < 0, то на еліптичному параболоїді немає прямих по аналогії з попереднім випадком.

4.  Конус

x2    у2 х2

---- +-------- = 0.

a2    b2 с2

Оскільки /4 = 0, то за теоремою 6.4.2. через кожну точку конуса проходить єдина пряма, що лежить на конусі, твірна конуса.

5.  Циліндр

Оскільки /4 = 0, то аналогічно попередньому випадку на циліндрі, крім твірних, інших прямих немає.

Для однопорожнистого гіперболоїда та гіперболічного параболої­да інваріант /4 > 0. За теоремою 6.4.2. через кожну точку цих поверхонь проходять дві прямі. Розглянемо сімейство прямих, що лежать на даних поверхнях, більш докладно.

6.  Однопорожнистий гіперболоїд

x2    у2 х2

---- +-------- = 1.

a2    b2 c2

Перетворимо рівняння однопорожнистого гіперболоїда:
x2    х2            у2     (x    х \ (x    х \     (     у \ (     у \ ,

а?--2 = 1 - V -c)(a + с) = (1 -ъ) (1 + ъ)- (6.26)

Розглянемо два сімейства прямих:

f f - I = X (1 - I)

a

і (6.27) І X (f + I) = 1 + -

 

f - Z = і (1 + I)Кf + I) =1 - -

(6.28)

4 a   1   c)      1 b

тут X, параметри, -оо ^ X, ^ +00. Дослідимо властивості цих сімейств.

 

1) Рівняння (6.27) задають пряму.Доведення. Нам потрібно довести, що площини, задані першим i дру­гим рівнянням системи (6.27), перетинаються i не співпадають. Обчи­слимо для цього векторний добуток нормалей цих площин:i       j           k

І     Л      _!

a     b        c

Л        1   Л


Л2


bc


1 2Л

-i------- j

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія