О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 7

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Твердження 1.4.2. Якщо вектори a і b неколінеарні, то кожний век­тор c, що розташований в площині a і b, допускає, і притому єдине, представлення: c = Xa +

Доведення. Якщо c = 0, то c = 0 • a + 0 • b. Нехай вектор c не-нульовий. З кінця вектора c проведемо прямі, що паралельні a i b .Ці прямі перетинають прямі OA i OB в деяких точках A' i B' (рис. 18). За

правилом паралелограма о( = OA' + OB'. Але OA' і ОA колінеарні,

тому OA' = Xa. Аналогічно, OB' = /b. Отже, c = Xa + .

Доведемо єдиність розкладання. Нехай є два розкладання: c = Xa+/b і c = X\a + f/\b. Віднімаючи ці рівності почленно, одержимо

 

0 = (X о Xi)a + (/і о щ)ь.

Але ці рівності можливі лише при умові X о X\ = 0, о /1 = 0, оскільки, вектори a і b неколінеарні. Єдиність доведено.

 

 

1.4.7   Розкладання вектора по трьох некомпланарних век­торах.

Три вектори в просторі називаються компланарними, якщо рівні їм вектори із спільним початком лежать в одній площині.

 

Зауваження.

1.  Якщо вектори a, b, c некомпланарні, то ніякі два з них неколіне­арні.

2.  Якщо a і b неколінеарні вектори, а вектор c лежить в площині цих векторів, то a, b, c компланарні.

Твердження 1.4.3. В просторі кожний вектор d розкладається по трьох некомпланарних векторах a, b, c, причому це розкладання єдине:

 

d = Xa + /ib + v c

Доведення. Прикладемо до довільної точки O чотири вектори oA, oB, O(( і ОҐ), що рівні векторам a, b, c і d відповідно, і позначимо череза площину, в якій лежать вектори OA і ОВ (рис. 19). Якщо точка D лежить на прямій ОС, то ОҐ) = vOC. Звідси d = vc.

Якщо точка D не лежить на прямій ОС, то проведемо пряму, па­ралельну прямій ОС. Вона перетне площину а в деякій точці D'. Век­тори од і D'D колінеарні. Тому D'D = vod. Вектор OD' лежить в площині а з векторами О А і 0~Й. Тому OD' = ХоА + /лО~Й. Оскільки

ОТ) = OD1 + D'D, то ОЇ) = ХОА + /лШ + иоб, або d = Ха + цЬ + vc. Існування розкладання вектора d доведено.

Доведемо єдиність розкладання. Припустимо, що існує інше розкла­дання d = X'а + іл!Ь + с. Тоді Х')а + ц')Ъ + v')c = 0. Через те, що а, Ъ, с некомпланарні, остання рівність можлива лише при X = X', jJL = jd! ,v = Vі.
Дамо нову інтерпретацію координат вектора (розглянемо випадок площини). Нехай дано косокутну систему координат, е\, е2 одиничні вектори, що мають напрями координатних осей; а довільний вектор. Тоді а = а1еі2е2 (рис. 20). Координати вектора, що визначені раніш, не що інше, як коефіцієнти в розкладенні вектора а по векторах е\, е2. Аналогічне твердження правильне для випадку простору.

Введемо позначення а = а1Єі = а1е\ + а2е2 + а3ез. В подальшому, коли індекс стоїть зверху і знизу, він означає підсумовування; у випадку площини індекс і змінюється від 1 до 2, а у випадку простору - від 1 до 3.

 

1.4.8   Деякі відомості з лінійної алгебри.

1.  Нехай С деяка множина, елементи а, Ъ, с Є G, R поле дійсних чисел, А, /і, v є R.На множині G введено операцію додавання: a + b = c, тобто задано відображення декартового добутку G х G G, яке парi єлємєнтів ( a, b) Є G х G ставить у відповідність елемент c Є G.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія