О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 70

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

ac


Л2 +

ab


1kaОтже, система (6.27) задає пряму при будь-якому значенні Л.

 

 

2) Пряма (6.27) лежить на поверхні.

Доведення. Справді якщо координати деякої точки задовольняють рівнянню (6.27), то вони задовольняють і рівнянню (6.26), яке є наслід­ком системи (6.27).

 

 

3)  Через кожну точку поверхні проходить пряма із сімейства (6.27).

Доведення. Нехай точка Pq(xq,yo,Zo) належить поверхш. I нехай або it+С = 0, або 1 І = 0; будемо вважати для визначеності, що 1 І = 0; З рівняння

Х Z = Л (1 Ш) (6.29) a     c b

знаходимо Л, при якому пряма сімейства (6.27) проходить через точку

Po. Оскільки із рівняння (6.29) Л визначається однозначно, через точку

Po проходить єдина пряма сімейства (6.27).

Якщо 10 + С = 0 і 1 Щ' = 0, то шуканою прямою буде

Г  1+і=0

1 1 С =0.

властивості 3) випливає, що будь-які дві прямі сімейства (6.27) не перетинаються, оскільки якщо вони перетинаються, то лише в точці поверхні і, отже, через цю точку проходять дві прямі сімейства (6.27), що суперечить раніше доведеному (6.28).

4)         Будь-які три прямі сімейства (6.27) є прямі загального положен-
ня, тобто вони лежать в різних площинах, і напрямні вектори цих
прямих утворюють базис 3-вимірного простору.
Доведення. Розглянемо три прямі сімейства (6.27). Відповідні їм Лі, Л2, Лз попарно різні, тобто

і Л2ХЛ2 Лз)(Лз Лі) = 0. За напрямний вектор прямої (6.27) можна прийняти вектор

' 1 Л2     2Л     1 + Л2 \

bc

ac

Р(Л)

ab

Щоб довести лінійну незалежність векторів р(Л1), р(Л2), досить показа­ти, що їх змішаний добуток не дорівнює нулю, тобто потрібно довести, що визначникЛІ

Л22 Л2з

Лі

Л2 Лз


Л2 + 1

Л22 + 1 Л2з+1


= Довести це самостійно.

 

Наслідком властивості 4) є те, що наші прямі лежать в різних площинах.

5) Кожна пряма сімейства (6.27) перетинається з кожною прямою сі­мейства (6.28), крім однієї, паралельної їй прямої.

Доведення. Розглянемо одну пряму сімейства (6.27) і одну пряму сімей­ства (6.28), (Л, /і— деякі фіксовані числа). Потрібно довести, що система рівнянь (6.27), (6.28) має розв'язок. Покажемо, що четверте рівняння є наслідок перших трьох. Розглянемо випадок = 0. З першого рівняння систем (6.27) і (6.28) випливає, що
Л 0+1Підставимо цей вираз у друге рівняння системи (6.28) і одержимо друге рівняння системи (6.27).

Таким чином, друге рівняння системи (6.28) можна відкинути і до­слідити систему 3-лінійних рівнянь з трьома невідомими х, y, z.

Випадок     = 0 розглянути самостійно.

 

 

Зауваження. Властивостi 1) — 5) мають місцє для сiмейства (6.28).

6) Інших прямих, крім тих, що задані рівняннями (6.27), (6.28), на однопорожнистому гіперболоїді немає.Ця властивість випливає з того, що, як доведено в 6.3., максимальна кількість прямих, які проходять через точку поверхш i лежать на ній, дорівнює двом, якщо поверхня не вироджується в пару площин і якщо в точці, що розглядається, існує дотична площина.

Таким чином, ми довели, що на однопорожнистому гіперболоїді є два сімейства прямолінійних твірних, що будь-які три прямі одного сі­мейства є прямі загального положення, що кожна пряма 2-го сімейства перетинає всі прямі першого сімейства, за виключенням однієї, і, отже, перетинає будь-які три фіксовані прямі 1-го сімейства.

Справедливе обернене твердження: якщо взяти будь-які три пря­мі загального положення, то геометричним місцем прямих простору, що перетинають три дат прямі, буде однопорожнистий гтерболоїд.

Довести це твердження самостійно.

Лінійчаста будова однопорожнистого гіперболоїда використовується в будівництві: телевізійна башта на Шаболовці побудована у вигляді однопорожнистого гіперболоїда, сталевий каркас прямолінійні твір­ні.

7. Гіперболічний параболоїд

x2 у2

z = a2 - b2 .

Гіперболічний параболоїд має властивості, аналогічні властивостям однопорожнистого гіперболоїда, але є і відмінності:

1)  на гіперболічному параболоїді є два сімейства прямолінійних твір­них;

2)  через кожну точку гіперболічного параболоїда проходить по одній прямій з кожного сімейства;

3)  всі прямі одного сімейства паралельні деякій площині;

4)  кожна пряма одного сімейства перетинає всі прямі другого сімей­ства.

Доведемо спочатку властивості 1) — 4) для гіперболічного параболоїда, заданого рівнянням

z = xy. (6.30)

Доведення. 1) Очевидно, що на поверхні (6.30) лежать прямі двох сі­мейств:

x = c\,   z = c\у; (6.31)У = С2,    Z = С2Х]     OO < Cl, C2 < +00. (6.32)

Розглянемо ортогональні проекції прямих сімейства (6.31) i (6.32) на площину Oxy; рівняння проекцій відповідно наступні:

x = cl,   z = 0; (6.33)

У = С2,   z = 0. (6.34)

Наявність властивостей 2) - 4) досить показати для прямих (6.33), (6.34), оскільки гіперболічний параболоїд і прямі (6.31), (6.32) взаємно однозна­чно проектуються на площину Oxy.

2)  Дві прямі одного сімейства (6.31) або (6.32) не перетинаються, оскільки проектуються в різні паралельні прямі площини Oxy.

3)  Всі прямі сімейства (6.31) паралельні площині Oyz; всі прямі сі­мейства (6.29) паралельні площині Oxz.

4)  Кожна пряма сімейства (6.33) перетинає кожну пряму сімейства (6.34), оскільки прямі (6.33) паралельні осі Oy, а прямі (6.34) паралельні осі Ox.

Таким чином, властивості 1) - 4) доведені для окремого випадкугіперболічного параболоїда, заданого рівнянням z = xy; але в деякій іншій системі координат ця ж поверхня має рівняння:

x2 y2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія