О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 71

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Здійснимо стискання простору

{

x = ax z = z

при цьому поверхня z = x j   перейде в поверхню Z =     ^, пря­мі перейдуть у прямі, паралельні прямі в паралельні прямі. Отже, властивості 1) - 4) зберігаються для поверхні z = ^ . Випишемо сімейства прямолінійних твірних поверхні:

/   Xz = x + I     /    ^z = x I (635)

 

Для виписаних сімейств прямих самостійно довести наявність вла­стивостей 1) - 4) методом, аналогічним методу, що застосовується для однопорожнистого гіперболоїда.5) Інших прямих, крім тих, що задані рівняннями (6.35) на гіперболі­чному параболоїді немає.

Властивість доводиться аналогічно відповідній властивості однопоро­жнистого гіперболоїда.

Із властивості 4) випливає, що коли взяти три прямі одного сімейства, то кожна пряма другого сімейства перетинає кожну з цих трьох прямих.

Має місце і обернене. Нехай у просторі задані три прямі, паралельні деякій площині, ніякі дві з яких не перетинаються і ніякі дві з яких не паралельні. Тоді геометричним місцем прямих, що перетинають ці три прямі, є гіперболічний параболоїд.

Довести самостійно.

В Харкові дах кінотеатру «Україна» і дах цирку мають форму гі­перболічного параболоїда. Ця поверхня має прямолінійні твірні, і тому її легко будувати.

 

6.6   Топологічні властивості кривих (поверхонь) 2-го порядку

До топологічних властивостей відносять такі, які зберігаються при взаємно однозначних неперервних відображеннях. Прикладами таких властивостей є «бути замкненою кривою» «бути елементарною кривою» та ін. Властивість «бути опуклою кривою» не топологічна, оскільки мо­жна досить легко побудувати гомеоморфний образ опуклої кривої, який уже опуклою кривою не буде. До топологічних властивостей слід відне­сти і властивість «бути кривою, що гомеоморфна якійсь певній кривій, кривій певного вигляду». Підведемо підсумки одержаних раніше резуль­татів з точки зору топологічних властивостей.

 

I. Еліпс

x2 + y2 = 1

a2 b2

опукла замкнена крива; еліпс, гомеоморфний колу. Гомеоморфізм мо­жна одержати, якщо поставити у відповідність точки перетину кола і еліпса променями, що виходять з початку координат (рис.154). Само­стійно довести, що таке відображення взаємно неперервне. Отже, еліпс вкладена крива.

Дуги еліпса, що лежать у відкритих координатних півплощинах, мо­жна задати явно. Кожна з них гомеоморфна відкритому інтервалу, го­меоморфізм можна одержати за допомогою ортогональної проекції дуги на координатну вісь. Отже, кожна з цих дуг є елементарна крива.

 

II. Парабола

у = 2рх

елементарна крива. Ортогональна проекція на вісь Оу задає гомео­морфізм параболи і прямої (рис. 155).

Puc.\55

 

 

III. ГіперболаУ_ b2 = 1складається із двох зв язних компонент, які є елементарними кривими,

у = by l + fs- явне задання верхньої вітки гіперболи. Ортогональна проекція кожної вітки гіперболи на вісь Ох задає гомеоморфізм вітки гіперболи і прямої (рис. 156).
IV. Пара прямихщо перетинаються має особливу точку. Перетин пари прямих з околом Us точки О(0, 0) — це «хрест» (рис. 157), він не гомеоморфний інтервалу.

V. ЕліпсоїдX


У

+ Ь2

= 1— вкладена поверхня. Еліпсоїд гомеоморфний сфері (рис. 158).

Частини еліпсоїда, які лежать у відкритих координатних півпро-сторах, однозначно проектуються у відповідні координатні площини на області, що гомеоморфні відкритому кругу. Отже, кожна така частина є елементарна поверхня. В сукупності вони покривають весь еліпсоїд.

VI. Гіперболоїди і конус (рис. 159).

Розглянемо спочатку перехід від гіперболи до спряженої гіперболи. Потрібно вирізати деякі околи вершин гіперболи. Одержані чотири зв'я­зні компоненти потрібно попарно склеїти по-іншому і вигнути так, як показано на рис. 16

V


УРж.т


РисШПерейдемо тепер до розглядання гіперболоїдів. Виріжемо із однопо­рожнистого гіперболоїда окіл «горлового» еліпса. Межі S1, S2 кусків поверхні, що залишилися, еліпси (рис. 161). Викинутий кусок, з то­пологічної точки зору, можна вважати циліндричною поверхнею. Криві S*1 і S2 на циліндрі межі двох тілесних еліпсоїдів. Підклеїмо ці ті­лесні еліпси до кусків однопорожнистого гіперболоїда, що залишилися, і «вигнемо» поверхню так, щоб одержати двопорожнистий гіперболоїд (рис. 162).

Розглянуті операції (їх називають перебудовами) застосовують у те­орії Морса.

Можна двопорожнистий гіперболоїд «перебудувати» в однопорожни­стий.Для простоти будемо розглядати зараз гіперболоїди і конус обертан­ня:

х2 + у2    z2              х2 + у2    z2              х2 + у2 z2

о           о                   9           9                   9 9

 

(ці поверхні топологічно еквівалентні загальним гіперболоїдам і конусу). Візьмемо сферу із центром на початку координат і відобразимо наші по­верхні на сферу наступним чином: проведемо промінь із початку коорди­нат і точці перетину променя з поверхнею ( гіперболоїдами або конусом) поставимо у відповідність точку перетину променя із сферою. При цьо­му конус перейде в два кола на сфері; двопорожнистий гіперболоїду дві відкриті шапочки, що обмежені цими колами; однопорожнистий гіперболоїд у частину сфери, що залишилася, «пояс» (рис. 163).

Зв'язна компонента двопорожнистого гіперболоїда гомеоморфна від­критій шапочці, а шапочка гомеоморфна відкритому диску. Отже, зв'я­зна компонента двопорожнистого гіперболоїда гомеоморфна площині, тобто є елементарною поверхнею.

 

Рис.Ш                        Рис.Ш Рис.Ш

 

 

Зауваження. Гомеоморфізм зв'язної компоненти двопорожнистого гі­перболоїда і площини можна було встановити, здійснивши ортогональ­не проектування зв 'язної компоненти на координатну площину.

Однопорожнистий гіперболоїд гомеоморфний поясу на сфері; пояс на сфері гомеоморфний поясу на циліндрі, що обмежений двома ко­лами; пояс на циліндрі гомеоморфний циліндру, оскільки пояс це S*1 х (a, b) (S1 коло), а циліндр це S*1 х Е1 (Е1 пряма). Отже, однопорожнистий гіперболоїд вкладена поверхня.Конус (подібно парі прямих, що перетинаються, в плоскому випад­ку) це поверхня з особливою точкою вершиною конуса. У вершини конуса немає околу, який гомеоморфний кругу.

VII. Параболоїди задані явно. Отже, вони гомеоморфні площині і є елементарними поверхнями.

VIII. Еліптичний циліндр вкладена поверхня, оскільки його мо­жливо покрити чотирма частинами, кожна з яких гомеоморфна площині.

IX. Гіперболічний циліндр вкладена поверхня, оскільки кожна зв'язна компонента гомеоморфна площині.

X. Параболічний циліндр гомеоморфний площині, отже, є елемен­тарною поверхнею.

XI. Поверхні, що залишилися, вироджені. Відмітимо серед них пару площин, що перетинаються, які мають особливу пряму — пря­му перетину.Розділ 7

 

 

Геометричні перетворення

 

 

 

7.1 Рухи.

Рухом на площині або в просторі називається таке відображення пло­щини або простору на себе, при якому зберігається відстань між точка­ми, тобто відображення f : En En (n = 2, 3) є рух, коли для будь-яких Х\,Х2 Є En буде виконуватись рівність

 

\X\X2\ = \f (Xi)f2)|.

 

Властивості руху.

1.  Рух взаємно однозначне відображення.

2.  Тотожне відображення (позначається через id, e, 1) є рух.

3.  Серед рухів можна ввести операцію множення (позначається о) як

композицію відображень: нехай f,g два рухи, x —— y —— z, тоді g о f також рух.

4.  Для кожного руху f можна побудувати обернене відображення f-1, X y, y fx, f-1 о f = id, де f-1 також рух.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія