О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 72

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

5.  Якщо g, f,h рухи, то справедлива рівність h о (g о f) = (h о g) о f, оскільки вона виконується для композиції відображень.

Рухи переводять пряму в пряму. Це випливає із нерівності трику­тника.7.1.1   Рухи на площині.

Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат Ох1х2.

Приклади.

 

1.  Паралельний перенос

J у1 = + а1, \ у2 = х2 + а2

 

є рухом. Перевірити самостійно.

 

2.  Обертання навколо нерухомої точки на кут задається системою

J у1 = cos х2 sin (р, \ у2 = sin ір + х2 cos ір

 

є рухом. Перевірити самостійно.


Зауваження. Поворот системи координат на кут ір відповідає повороту площини на кут —ір у фіксованій системі координат (рис. 164).Виявляється, що будь-який рух на площині є композиція наступних рухів: паралельного переносу, обертання та осьової симетрії

Доведення. Нехай / — деякий рух на площині, /(жо) = Уо- Ту,паралельний перенос на вектор Ь, де b = уоЖо. Розглянемо композицію Ть о /, це також рух, причому (Ть о /)(ж0) = ж0-

Розглянемо пряму Іо, що проходить через точку жо- При русі Ть о f пряма Іо перейде в пряму Іо, яка також проходить через точку жо (рис. 165) Здійснимо поворот Др(жо) навколо точки жо на кут <р, такий, щоб Іо пе­рейшла в Іо- Тоді рух і?(Джо) о Ть о / пряму Іо лишає на місці.

Розглянемо довільну пряму 1\, що проходить через точку жо і утворює кут а з прямою Іо (рис. 166). Як діє на h рух Е^(жо) о Ть о /? При русі кут між прямими зберігається незмінним. Отже, можливі два випадки.

 

 

а /„Рис.Ш

1.  Пряма 1\ лишається на місті, і тоді

 

адотьо/ = і.

Пряма 1\ переходить в симетричну відносно прямої Iq пряму 1\. Тоді будемо розглядати рух Si0 симетрію відносно прямої Іо. Результатом будеSi0 о Rv(x0) о Tb о / = 1. , що R-\xo) = R-v{xo),   T~l = Г_,


 

 

Si,.           *S^g.f = T_boR_v(xo),

 

а у другому:

1.  f = Т_ъ о R-^ixo) о Si0. Запишемо формули перетворення координат при русі на площині.Нехай координати точки xo(0, 0). Тоді

,   л   Г z1 = x1 cos ф x2 sin ф,
r                  [ z2 = x1 Sin ф + x2 cos ф.

( у1 = zl + b1, Tb Ч У2 = z2 + b2, де b = (b1, b2).

Отже, будь-який рух I типу аналітично записується так:

{

у1 = x1 cos ф x2 sin ф + b1, у2 = x1 sin ф + x2 cos ф + b2,   0 ^ ф < 2n.

2.  Нехай пряма lo вісь Ox1 та координати точки xo(0, 0).


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.1){


z1 = x1 ,в матричному вигляді

 

Si°: (z0 =(1 —1) (x0.

Враховуючи пункт 1, кожний рух II типу аналітично записується так:

( У1 \ = ( cos ф   sin <p\( 1    0  \( x1 \    ( b1 \ \ у2 )     V sin ф    cos ф  ) \ 0   —1 Д x2 J    V b2 J ,(7.2)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія