О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 73

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

{

У матричному вигляді системи (7.1) i (7.2) записуються так:

 

у = Ах + b де у = (        , X = ( ^) , b = ( .

Матриця А задовольняє умові А* А = АА* = E, де А* транспоно­вана матриця до матриці А.

А = cos ф sin ф А =    sin ф    cos фА = cos ф sin ф . А =    sin ф   cos ф .

Система (7.1) задає рух, який є композицією повороту і паралель­ного переносу, система (7.2) — композиція осьової симетрії, повороту і паралельного переносу.

Приклад. Покажемо, що паралельний перенос на вектор a є ком­позиція двох осьових симетрій. Дійсно, нехай вісь І1 співпадає з коорди­натною віссю Ox1, а вісь І2 задається рівнянням x2 = 2. Тоді симетрії відносно цих осей задаються наступними рівняннями:

у1 = —x1,    z1 = —(у1 a)

Ґ у1 = —xl,izl = —(у1\   у2 = x2    \      z2 = у2.

 

їх композиція має вигляд{


z1 = x1 + a, z2 = x2.Згадаємо перетворення координат при повороті системи координат на кут ф (рис.167). Новий базис е = (е1, е2) виражається через старий базис e = (e 1, e2) наступним чином:

1 cos ф 2 sin ф, 1 sin ф 2 cos ф.

Старі координати точки M через нові координати тієї ж точки M виражаються за допомогою системи{


x1 = x1 cos ф x2 sin ф, x2 = е1 sin ф + е2 cos ф.Нові координати точки M через старі

Г   е1 = x1 cos ф + x2 sin ф,                             ( )

1—2          1      ,     2 (7.3)

[ x2 = —x1 sin ф + x2 cos ф.

При повороті системи координат на кут ф навколо точки O(0, 0) — координати точки M змінюються за формулами

у1 = x1 cos ф x2 sin ф,                                     (7 4)

у2 = x1 sin ф + x2 cos ф.Зауважимо, що якщо обертати систему координат на кут <р, то в новій системі координат точка М матиме такі ж координати, як і точка, що одержана з точки М шляхом обертання на кут —<р в старій системі координат. Звідси, формули (7.3) переходять у формули (7.4), якщо в (7.3) підставити —<р замість <р, і навпаки.

З'ясуємо, чим відрізняються рухи (7.1) і (7.2). Система (7.1) описує рухи І роду, для них матриця
Система (7.2) описує рухи II роду, для них
Припустимо, що на площині задана деяка орієнтація. Нехай е = = (еі, ег) ортонормований базис, що задає цю орієнтацію. При русі базис е перейде у новий базис е = (еі,ег) площини. В системі (7.1) матриця А така, що det А > 0. Отже, детермінант матриці переходу від базису е до базису е при русі (7.1) додатний. Таким чином, базис е за­дає ту ж орієнтацію площини, що і базис е. При русі II роду базис е задає протилежну орієнтацію площини, оскільки детермінант матриці переходу від е до е від'ємний.

Рухи, що зберігають орієнтацію площини, називаються власними, а ті, що змінюють орієнтацію невласними.

Задати орієнтацію це значить задати додатний напрям обертання на площині або вибрати додатний обхід трикутника (рис.168). При русі АА1А2А3 перейде в конгруентний ДА1А2А3.4При русі І роду напрям обходу сторін трикутника зберігається, при русі II роду змінюється на протилежний (рис. 168, 169).
Будемо розглядати трикутник як тверде тіло. Якщо рух І роду, то, не

виходячи з ПЛОЩИНИ, МОЖНа СУМІСТИТИ ТрИКуТНИКИ аа1а2а3 і АЛ1УІ2УІ3.

Якщо рух II роду, то, не виходячи з площини, ці два трикутники сумі­стити не можна.


Приклад. Розглянемо окремий випадок руху II роду осьову си­метрію. Трикутники АА1А2А3 і АА1А2А3 не можна сумістити, не ви­ходячи з площини (рис. 170). Осьова симетрія проекція на Е2 руху в Е3. Обертанням в просторі навколо осі І на кут тт аа1а2а3 можна сумістити з да1а2а3.

Ковзна симетрія це композиція осьової симетрії і паралельного переносу в напрямі осі симетрії. Якщо вісь симетрії вибрати за вісь Ох1 у прямокутній системі координат, то ковзна симетрія буде задаватися рівняннями:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія