О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 74

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

( у1 = + а, \   у2 = —х2.В окремому випадку, коли вектор паралельного переносу нульовий, це осьова симетрія.

Теорема Шаля (класифікаційна теорема).

Будь-який власний рух на площині є або паралельний перенос, або обертання навколо точки. Будь-який невласний рух є ковзна симетрiя.

Доведення. Розглянемо випадок власного руху. Він задається си­стемою (7.1).

a.) Нехай A = E. Система (7.1) набуде вигляду

Ґ у1 = + b1, X у2 = x2 + b2,

 

така система рівностей задає паралельний перенос.

У цьому випадку ф = 0, перетворення не має нерухомої точки.

b.) Нехай ф = 0. Доведемо, що у цьому випадку є нерухома точка

перетворення, тобто існує розв'язок матричного рівняння

 

x = Ax + b або (E A)x = b.

 

У координатному вигляді останнє рівняння запишеться так:

J   x1(1 cos ф) + x2 sin ф = b1, \ —Xі sin ф + x2(1 cos ф) = b2.

 

det(E A)=det ( 1 COs ф   л sin ф    ) = sin ф    1 cos ф

= (1 cos ф)2 + sin2 ф = 2(1 cos ф) = 4 sin2 фф = 0, оскільки, 0 < ф < п.

Головний визначник системи не дорівнює нулю, тому система має єдиний розв'язок xo = ( x°  ) . Цей розв'язок і є нерухома точка

руху (7.1).

Таким чином, рух задано рівнянням y = Ax + b і xo = Axo + b. Звідси,

y x o = A(x x o). (7.5)Здійснимо паралельний перенос системи координат так, щоб поча­ток координат співпадав з точкою Xq. Він задається рівністю

ж = x x 0.

 

У новій системі координат рівняння (7.5) матиме вигляд

y = Ax, де y = y  yо,

це рівняння описує поворот на кут ф навколо нового початку ко­ординат.

Розглянемо випадок невласного руху. Він задається системою (7.2) або рівнянням

( \     f cos ф   sin ф \ f 1    0   \ / x1 \     ( Ь1 \
\y2 )     V sin ф    cos ф  ) \ 0     x2 ) + \ Ь2 ) .

Здійснимо поворот системи координат на кут ф. У новій системі координат наш рух описується більш простим рівнянням:

(у2) = (1—і)(x2) + (Ь2).

або

Г  у1 = ж1 + Ь1 \ у2 = —ж2 + Ь2,

або

j       у1 = x1 + Ь1,

І у2 b2 = —(x2 b2).

Перейдемо до нової системи координат, здійснивши паралельний перенос, який задано формулами

{     -1

І      гр гр J-

22

{ x = x2 — ■

2 .

 

У новій системі координат рівняння руху будуть такими:

 

у = x + Ь1, 22 V = —x ,

 

тобто будуть задавати ковзну симетрію.Вправи.

1.  Яке перетворення буде композицією осьових симетрій Si1, Si2, якщо: a) li \\ W,    Ь) li = І2?

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія