О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 75

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

2.  Довести, що будь-який власний рух площини є композицією двох осьових симетрій, а будь-який невласний рух композицією трьох осьових симетрій.

3.  Яке перетворення буде композицією двох поворотів Кф1 (A), RV2 (В)?

4.  Яке перетворення буде композицією осьової симетрії і повороту?

5.  Яке перетворення буде композицією повороту і паралельного пере­носу?

6.  Яке перетворення задає композиція Rv о T о R-ip?
Розглянемо комплексні числа

x = x1 + ix2,   у = у1 + іу2,   Ь = Ь1 + іЬ2.

Ми знаємо, що егф = cos ф + і sin ф, x = x1 ix2, точки x, x симе­тричні відносно осі x1.

Перевірити самостійно, що систему (7.1) можна записати так: у = = єгфж + Ь, а систему (7.2): у = єгфХ + Ь.

Всі рухи, як ми показали раніше, утворюють групу і поділяються на власні і невласні.

Композиція двох власних рухів є власний рух, тотожне перетворення власний рух, обернене до власного руху власний рух. Отже, власні рухи самі утворюють групу, яка називається підгрупою власних рухів.

Композиція двох невласних рухів рух власний. Невласні рухи гру­пи не утворюють.

Композиція власного і невласного руху невласний рух. Якщо ство­рити композицію всіх власних рухів з одним і тим же невласним рухом, одержимо всі невласні рухи.

Паралельні переноси утворюють групу.

Розглянемо рухи, які можуть бути задані формулою у = Ax (або у = y = егфх, 0 < ф < 2п). Вони утворюють групу, яка називається ортогональною групою і позначається через 0(2). Підгрупа групи 0(2) з det A = 1 позначається через S0(2). Кожному елементові групи S0(2) можна поставити у відповідність точку кола, причому ця відповідність між елементами групи і точками кола буде взаємно однозначною (рис.171).7.1.2   Рухи в просторі.

Подібно до плоского випадку можна довести, що будь-який рух є лінійним перетворенням: y = Ax + b, або в координатній формі:

y1 = a\xx + a^x2 + a\x3 + b1, y2 = a\x\ + a^x2 + a^x3 + b2, y3 = a\x\ + a^x2 + a33x3 + b3.

Але не будь-яке лінійнє перетворення задає рух, а лише таке, у якого AA* = E.

Справді, нехай перетворення y = Ax + b задає рух, тоді y = Ax також задає рух. Перетворення y = Ax переводить 0 в 0, x в y, відстані між відповідними точками зберігаються. Отже,

(У1)2 + (У2 )2 + (У3)2 = (x1)2 + (x2)2 + (x3)2

або

Ax, Ax   = x, x .

Підставимо в останню рівність y% = rajxj        = 1, 2, 3) і прирівняємо коефіцієнти при x%, xj справа і зліва, одержимо

(a1)2 + (a1)2 + (a3)2 = 1,   a^2 + a2x^^ +       = 0

і т.п.

Виписати самостійно решту рівностей і впевнитися, що , aj) = 5ij, де вектор a і = {a1, a2, a3} умова, при якій перетворення y = Ax є

рух.

Таким чином, щоб формула y = Ax + b задавала рух, матриця A повинна бути ортогональною.

Лінійне перетворення є рух тоді і тільки тоді, коли AA* = E.

 

Теорема.

Будь-яке ортогональне перетворення вигляду y = Ax має інварі­антну пряму, що переходить в себе (точки цієї прямої не обов'язково лишаються на місці).

Доведення. Розглянемо рівняння

Ax = \x або (A - \E)x = 0,

ненульовий вектор x, що задовольняє цьому рівнянню, є власним век­тором матриці A, а число X власне значення, що відповідає цьому власному вектору.Рівняння ХЕ)х = 0 рівносильне системі трьох рівнянь з трьо­ма невідомими. Щоб ця система мала ненульовий розв'язок, необхідно і достатньо, щоб det (.А ХЕ)х = 0, тобто А повинно бути коренем ха­рактеристичного рівняння матриці А. Але оскільки вимірність простору п = 3 і матриця А третього порядку, рівняння det ХЕ)х = 0 — це алгебраїчне рівняння третього ступеня. Таке рівняння завжди має дій­сний корень Ло, а рівняння (A XqE)x = 0 має ненульовий розв'язок ео-Тим самим твердження доведено.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія