О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 76

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Пряма, що проходить через початок координат у напрямі вектора ео інваріантна.

Оскільки, рівняння у = Ах задає рух, то

{Аео, Ае0 ) = (е0, е0 )•

Ми знаємо, що Аео = Лоєо, отже,

(Л0е0, Л0е0) = (е0, е0)•

Звідси одержуємо Лд = 1 і Ло = ±1.


Виберемо систему координат спеціальним чином: напрям осі Ох3, співпадає з напрямом ео- Тоді площина х1х2 буде перпендикулярна до вектора ео (рис.172).

Площина, яка перпендикулярна до вектора ео і проходить через по­чаток координат, інваріантна під дією руху у = Ах.

Справді, нехай вектор е перпендикулярний до вектора ео, тобто (ео, е) = 0, але (Аео, Ае) = (ео, е) = 0 і Аео = ±ео, отже, ( ± ео, Ае) = 0. Таким чином, Ае _І_ ео-

З'ясуємо, який вигляд буде у матриці А у вибраній нами системі координат. Нехай е = (е\, e2, ез) — ортонормований базис, що задаєнашу систему координат. Ми довели, що

Ae з = ±e з,

або в координатній формі
0 0

±iЦя матрична рівність дозволяє записати a\ = 0, a\ = 0, a'3 Площина xfxl інваріант руху y = Ax. Отже,


i.

 

 

 

де *


довільне дійсне число. Звідки, af


 

 

 

0 i

 

0


 

0тому al = 0.

Таким чином, у спеціальній системі координат матриця має виглядA


U ±°i)де A ортогональна матриця, що відповідає плоскому русі (русі на пло­щині xfxl). Отже, будь-яка ортогональна матриця A третього порядку має один з двох видів:
cos ф sin ф 0 sin ф    cos ф 0

00iабо
cos ф sin ф

0

sin ф cos ф

0


0 0

iРозглянемо всі можливі випадки:1.        det A = 1.
1.1.

(

cosф   sinф    0 \
sin ф    cos ф     0   І .
0              0       ±1 )

У цьому випадку перетворення y = Ax є обертання на кут ф нав­коло осі Ox3.

 

1.2.

(

cosф    sinф      0 \ sin ф   cos ф    0   І . 0      0 ±1

У площині x1x2 повернемо осі координат Ox1 i Ox2 на кут ф. В новій систємі координат матриця A набуде вигляду:

 

( 10     0 ^ A = І  0   —1    0   І .

0 0 —1

 

Отже, перетворення y = Ax в цьому випадку є обертанням навколо осі Ox1 на кут п.

Таким чином, у випадку 1. рівняння y = Ax задає обертання нав­коло деякої осі.

 

2.  det A = —1.

 

2.1.

(

cosф      sinф    0 \

sin ф  cos ф     0   І .

0    0             1)

Обертання на кут ф навколо осі x3 і дзеркальна симетрія відносно площини x3 = 0 називається дзеркальним обертанням.

 

2.2.

(

cos ф     sin ф    0 \
sin ф   cos ф  І .
0           0      1 /Перейдемо до нової системи координат так, як ми це зробили у ви­падку 1.2. Матриця A набуде вигляду:

 

 

A = І  0   -1   0  І .

001

Таким чином, наше перетворення у цьому випадку є дзеркальна си­метрія відносно площини x2 = 0. Це окремий випадок дзеркального обертання.

Отже, у випадку 2. рівняння y = Ax задає дзеркальне обертання.

Таким чином, ми довели, що будь-який рух виду y = Ax у просторі є або обертання навколо деякої прямої на кут ф, або дзеркальне обертан­ня. Отже, в деякій систємі координат будь-який такий рух буде задано формулами:

y1 = x1 cos ф x2 sin ф, y2 = x1 sin ф + x2 cos ф, у3 = ±x3.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія