О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 77

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Розглянемо ще деякі окремі випадки руху в просторі. Нехай рух за­дано так:

y1 = x1 cos ф x2 sin ф, у2 = x1 sin ф + x2 cos ф, у3 = x3 + b3.

Це композиція повороту на кут ф навколо осі x3 і паралельного пере­носу в напрямку цієї осі. Такий рух називається гвинтовим. Це власний

рух.

Розглянемо композицію симетрії відносно площини (нехай це буде площина x3 = 0) і паралельного переносу на вектор, що паралельний цій площині:

у1 = x1 + b1, у2 = x2 + b2,

33

у3 = —x.

Цей рух є невласним, він називається ковзною симетрією. Паралельний перенос

у1 = x1 + b1, у2 = x2 + b2, у3 = x3 + b3

є окремим випадком гвинтового руху.Обертання навколо осі окремий випадок гвинтового руху.

 

Теорема Шаля (класифікаційна теорема для простору).

Будь-який власний рух (тобто рух y = Ax + b, де det A = 1) є гвинтовий рух. Будь-який невласний рух (det A = —1) є або дзеркальне обертання, або ковзна симетрія відносно площини.

Доведення. Ми довели, що в деякій систємі координат матриця A має вигляд:

(

cos ф    sin ф   0 \
sin ф  cos ф  0  І ,  якщо det A = 1,
0               
0     1 )

і

(

cos ф     sin ф    0 \ sin ф  cos ф    0   І ,  якщо det A = —1. 0    0 —1

Розглянемо спочатку власний рух. Якщо ф = 0, рівняння y = Ax + b набуде вигляду y = x + b і задає паралельний перенос.

Нехай ф = 0. Будемо шукати нерухому точку перетворення y = Ax+b, тобто розв'язок матричного рівняння x = Ax + b, або (A E)x = —b, або системи рівнянь:

x1 (cos ф 1) + x2 sin ф = —b1, —x1 sin ф + x2(cos ф 1) = —b2, 0 = b3.

Ця система розв'язків не має, якщо b3 = 0. Але з перших двох рівнянь однозначно знаходяться x0, x0 (оскільки ф = 0). Таким чином, існує

x о = ( ~2 ) такий, що ж о = Axo + b, де

 

Ax = ( cos ф   sin ф 1,  b = ( b2 ) .

sin ф  cos ф b2

Але, оскільки, матриця A має спеціальний вигляд, рух задається си­стемою рівнянь

Ґ b = Ax +

\ y3 = x3 + b3. Підставимо в перше рівняння b = (E A)ж і одержимо

Г b bo = A(x xo), \      y3 = x3 + b3.Перейдемо до нової системи координат z1z2z3, яка зв'язана із систе­мою x1x2x3 так:

z1   = x1 x1 ,

    х        х о j

Z                    x          x i\=x

z3 3тобто здійснимо паралельний перенос у площині x1x2. В новій системі координат наш рух задається більш простими рівняннями:

j    b = Ax,

y3 = z3 + b3,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія