О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 78

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

які описують композицію обертання навколо осі Oz3 і паралельного пе­реносу вздовж цієї осі. Таким чином, це гвинтовий рух. Розглянемо тепер невласний рух. Якщо ф = 0, то

1 0 0

A = І  0 10

0 0 —1

і рух задає система рівнянь

y1 = x1 + b1 , y2 = x2 + b2, y3 = —(x3 b3).

Перейдемо до нової системи координат z1z2z3, здійснивши паралельний перенос:

z1 = x1, z2 = x2, z3 = x3 b3.

У новій системі координат рівняння руху будуть наступними:

y1 = z1 + b1, y2 = z2 + b2,

y3 = —z3.

Остання система рівнянь задає ковзну симетрію. Випадок, коли ф = 0, розглянути самостійно.

Вказівка. Якщо ф = 0, то рівняння (A E)x = —b має єдиний розв'я­зок. При допомозі паралельного переносу можна перейти до нової систе­ми координат, в якій рівняння руху буде мати вигляд y = Az, де

cos ф    sin ф 0 A = I  sin ф  cos ф 0 0 0-1і рух буде дзеркальним обертанням.

Рухи виду y = Ax утворюють групу, яка позначається через O(3). Власні рухи y = Az, det A = 1 також утворюють групу, вона позна­чається через SO(3). Кожний рух такого роду є обертанням на кут ф навколо нерухомої осі. Орієнтуємо вісь так, щоб із її кінця обертання було видно проти годинникової стрілки. Відкладемо на додатній півосі від початку координат відрізок довжиною ф. Кінець відрізка поставимо у відповідність руху. Тоді сукупність всіх точок, що відповідають вла­сним рухам, заповнить кулю радіуса п з центром на початку координат. Оскільки обертання на кут п навколо прямої в протилежних напрямках — один і той же рух, то діаметрально протилежні точки сфери, що є межею кулі, потрібно ототожнити. Куля с ототожненими діаметрально протилежними точками межі позначається через RP3 і називається три­вимірним проективним простором. Ця множина є тривимірним дійсним проективним простором. Таким чином, SO(3) допускає взаємно однозна­чне відображення на RP3, причому близькі рухи переходять в близькі точки RP3, тобто відображення є гомеоморфізмом. Можна сказати, що, з топологічної точки зору, SO(3) = RP3.

 

7.1.3   Кути Ейлера.

Нехай e = (е1,е2,е3) і е = (b1,b2, е3) два ортонормовані базиси однієї орієнтації. Позначимо через l пряму, по якій перетинаються пло­щини x1x2 і xb1xb2. Розглянемо кути

 

ф = ї         Тр = еї),     в = 33).

 

Ці кути ф, рр, в (рис. 173) називаються кутами Ейлера. Якщо один базис зафіксовано, то другий повністю визначається кутами Ейлера.

Якщо дано базис e = 1, е2, е3) і кути ф, р, в то, щоб одержати базис е = ї23) потрібно здійснити такі повороти:

1.  у площині x1x2 повернути осі x1 і x2 на кут ф, вісь x1 займе поло­ження прямої l;

2.  у площині, перпендикулярній до прямої l, повернути вісь x3 на кут в, одержимо вісь xb3;

у площині, перпендикулярній до осі xb3, повернути пряму l на кут р , одержимо вісь xb1.Кожному базису е (базис е фіксовано) відповідає деяке перетворення у = Ах, det А = 1 тієї ж орієнтації, що і е. Отже, якщо у просторі задана система координат, то будь-який рух виду у = Ах, det А = 1 повністю визначається кутами Ейлера.

 

 

7.2   Дискретні групи рухів.

Ця тема безпосередньо пов'язана з фізикою, мистецтвом, архітекту­рою.

Нехай у просторі є деяка фігура. Розглянемо рухи, які переводять цю фігуру в себе. Сукупність усіх таких рухів утворює групу, яка нази­вається групою симетрій фігури.

Приклади.

 

1.  Група, що складається з повторних застосувань повороту на кут

де п деяке ціле число, має у собі п елементів, називається циклічною групою і позначається через Сп. Вона є групою симе­трій правильного орієнтованого n-кутника, тобто такого, на яко­му вибрано напрямок обходу вершин. Група симетрій центрально-симетричної фігури має в собі групу Сг.

2.  Група, що складається з обертань, які описані в прикладі 1, і від-
биттів відносно
п осей, що утворюють одна з іншою кути

має в собі 2п елементів, називається діедральною групою і позна­чається через Dn. Ця група симетрій неорієнтованого правильногоn-кутника, n ^ 3. Група симетрій рівнобедреного, але неправиль­ного трикутника є група D\. Якщо група має вісь симетрії, то її група симетрій має в со6і групу Di.

3.  SO(2) є група симєтрій орiєнтованого кола.

4.  O(2) є група симетрій неорієнтованого кола.

 

7.2.1   Дискретні групи i правильні точкові системи.

Група Г рухів площини або простору називається дискретною, якщо вона має таку властивість: для будь-якої точки хо площини або простору існує куля фіксованого радіуса така, що під дією будь-якого елемента групи Г точка Хо або лишається на місці, або її образ знаходиться поза кулею.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія