О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 79

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Приклади.

1.  Група SO(2) не є дискретною.

2.  Групи Cn, Dn дискретні.

3.  Нехай a, b фіксовані вектори, числа m, n Є Z, де Z множина цілих чисел. Група Г = ma+nb є дискретною. З алгебраїчної точки зору, це група Z ф Z.

Візьмемо довільну точку Хо площини (простору) і подіємо на неї усі­ма елементами групи. Сукупність точок Г (хо) = [jxo | Y ЄГ} площини (простору) називається орбітою точки х0.

Дискретна група характеризується тим, що навколо будь-якої точки Хо існує куля, всередині якої немає інших точок орбіти точки хо, крім самої цієї точки.

Множина U називається фундаментальною областю групи, якщо в цій множині є точки з кожної орбіти, причому внутрішніми точками множини U не можуть бути дві точки з однієї орбіти.

Федорівськими, або кристалографічними, називаються дискретні гру­пи, у яких фундаментальна область — обмежена множина.

Приклади.

1. Розглянемо групу Cn. Якщо n = 3, то група складається з трьох елементів: обертання на кути 0, 120, 240. Орбіта точки вершини правильного трикутника (рис.174).

2.  Фундаментальною областю групи Cn є тілесний кут, що дорівнює П (рис.175).
Нехай група Г= {та}, де а фіксований вектор, т Є Z. Орбіта точки множина точок, що розташовані на прямій з напрямним вектором а на відстані | а | одна від іншої. Фундаментальною обла­стю є полоса шириною \а\ (рис.176). Отже, група Г= {та} не є федорівською.

3.  Нехай група Г= та + nb, де a, b фіксовані вектори, числа т, п Є Z. Орбіта точки хо складається з вершин гратки (рис. 177). Фундаментальною областю є, наприклад, паралелограм, який на­тягнуто на вектори a, b (рис.178). Зауважимо, що вершини пара­лелограма точки однієї орбіти, але ніякі дві із внутрішних точок паралелограма не належать одній орбіті.

За фундаментальну область групи Г= ma+nb можна взяти більш складні множини.

Група Г= та + nb є федорівською групою.

Правильною точковою системою називається сукупність точок на площині або в просторі, яка задавольняє умовам:

1. для будь-яких двох точок х, у у сукупності існує рух, який пере­водить х в у \ всю точкову систему в себе (це умова правильногорозташування точок у просторі);

2.  у будь-якій кулі скінченного радіуса існує скінченна кількість то­чок системи (умова того, що немає точок згущення);

3.  існує така куля досить великого фіксованого радіуса, що в якій би точці площини або простору не розташовувався центр кулі, всере­дині його є точка системи (умова рівномірності заповнення просто­ру точками системи).

 

Всі рухи, що переводять правильну точку системи в себе, утворюють дискретну групу з обмеженою фундаментальною областю, тобто федо-рівську групу.

Кристалам відповідають правильні точкові системи. Отже, класифі­кація кристалів зводиться до класифікації федорівських груп. Остання проведена: на площині існує 17 федорівських груп, у простору — 230. Класифікацію цих груп провів Федоров у 1890р., незалежно Шенфліс.

Всі плоскі кристалографічні групи були відкриті експериментально. Мусульманська релігія забороняла зображати живих істот. Це було по­в'язано із заповіддю: «не створи собі кумира». Тому художники створю­вали різноманітні декоративні орнаменти, що мають ту чи іншу групу симетрій. В арабських орнаментах присутні також групи симетрій усі 17 федорівських груп.

У багатьох орнаментах Ешера групою симетрій є одна з кристало­графічних груп, причому фундаментальна область зображення живої істоти.

 

 

 

Розглянемо один із узорів Ешера. На рис. 180 бачимо, що жуки, з яких складається узор розташовані у відповідності з граткою, що натя­гнута на базис (а, Ь). Гратка не зовсім довільна: вона складається із двох добре розташованих одна відносно іншої прямокутних граток. Цезбагачує симетрію візерунка і тим самим придає йому додаткову вишу­каність. Так, гратка, крім стандартних паралельних переносів і симетрій відносно середин відрізків, що з'єднують її точки, має й інші автоморфі-зми. Це симетрії відносно суцільних прямих і ковзні симетрії відносно пунктирних прямих, як горизонтальних, так і вертикальних (рис.181).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft

ї>

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

ч

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ъ

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

ь

 

 

а

-)

 

 

 

 

 

I

і

V

 

 

Ч

J

 

 

Рис

 

Форма жука має тільки поздовжню симетрію. Через це візерунок втрачає всі симетрії відносно точок, а також всі симетрії і ковзні симетрії відносно горизонтальних прямих.

Нехтуючи різницею в забарвленні жуків, розглянемо спочатку пов­ну групу одноколірного візерунка. Очевидно, що ця група складається із паралельних переносів гратки, а також симетрії і ковзних симетрій відносно вертикальних відповідно суцільних і пунктирних прямих. Фун­даментальною областю цієї групи може бути половина жука.

Очевидно, що цілий жук є фундаментальною областю для підгруп паралельних переносів. Звернемо увагу на те, що жук також фунда­ментальна область ще однієї, крім цієї, підгрупи повної групи візерунка. Викинемо для цього з повної групи одноколірного візерунка всі «чисті» симетрії і, крім того, ті паралельні переноси, які переводять світлих жу­ків у темні, а темних у світлі. Множина автоморфізмів візерунка, що лишилися (а це будуть всі ковзні симетрії відносно вертикальних пря­мих і тільки ті паралельні переноси, які переводять жука в жука того ж кольору), задовольняє всім аксіомам групи. Жук для такої групи стано­вить собою фундаментальну область.

Повна група двоколірного узора, очевидно, складається із усіх «чи­стих» симетрій відносно вертикальних прямих і тільки тих переносів, які пересувають кожного жука в жука того ж кольору. Фундаментальнуобласть цієї групи можна скласти з половин двох жуків різного кольору.

Намітимо шлях проведення класифікацій федорівських груп на пло­щині. Справедлива наступна теорема.

Теорема 7.2.1. Кожна федорівська група в En має дискретну підгрупу, що породжена n лттно незалежними паралельними переносами.

Лема 7.2.1. Нехай Г — кристалографiчна група, O, O' — двi точки одтєл i тiєї ж орбти, g1 рух, що переводить точку O в точку O', g обертання на кут ф навколо точки O. Тодi в Г існує обертання на кут ф з центром в точщ O'.

Доведення. Виберемо точку O за початок координат. Тоді обертан­ня g запишеться у вигляді:

( cos ф sin ф \ у sin ф  cos ф j

 

У = Ax, (7.6)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія