О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Операція додавання задовольняє двом умовам:

а)  комутативному: a + b = b + a;

б)  асоціативному: a + ( b + c) = (a + b) + c.

2.  Є нульовий елемент, що задовольняє умові a + 0 = a

3.  Для кожного елемента a є обернений елемент, який позначають (—a) і який задовольняє умові a + (—a) = 0.

Властивості 1.— 3. означають, що множина G є комутативною гру­пою відносно операції додавання.

4.  Введено операцію множення чисел на елементи множини G, тобто задано відображення G х R G, яке парі ( a, X) Є G х R ставить у відповідність елемент Xa Є G.

 

Операція множення (на число) задовольняє наступним аксіомам:

а)  X(a + b) = Xa + Xb

б) (X + ц)a = Xa + [ia

в) [i(Xa) = (/J.X)a

г)  1 - a = a

Множина G, на якій задано ці операції, що задовольняють переліче­ним умовам, називається дійсним лінійним (векторним) простором. Елементи векторного простору називаються векторами.

Приклади.

1.  Вектори на площині (в просторі) утворюють лінійний (векторний) простір.

2.  Розглянемо поліноми від одного змінного, степінь яких ^ n. їх можна додавати, множити на дійсне число. Ці поліноми утворюють лінійний простір.

Множина всіх неперервних функцій на відрізку [0, 1] утворює лі­нійний простір. Операція додовання функцій задається додован-ням їх значень в кожній точці: (f + g)(x) = f (x) + g(x), аналогічно задається множення на число: (Xf )(x) = Xf (x), де x Є [0,1].Вправа. В прикладах 1.—3. перевірити виконання аксіом лінійного простору.

 

Нехай G лінійний простір, e 1, e2,..., en,... його елементи. Вираз e 1 + X2e2 + ... + Xnen =eі, (i = 1,... ,n) називається лінійною комбінацією елементів eі, де i = 1,n.

Елементи e 1,..., en простору G називаються лінійно незалежними, коли з того, що лінійна комбінація цих елементів eі = 0, i = 1,n витікає, що X1 = X2 = . . . = Xn = 0.

Елементи e 1,..., en лінійного простору G називаються базисом, ко­ли вони лінійно незалежні і кожний вектор із цього простору є лінійна комбінація елементів e 1,..., en.

Кількість векторів, що входять в базис, називається вимірністю лі­нійного простору.

 

Приклади.

1.  Із твердження 1.4.1 виходить, що неколінеарні вектори лінійно за­лежні.

2.  Із тверджень 1.4.2, 1.4.3 випливає, що кожні два неколінеарні век­тори площини є базис площини; кожні три лінійно незалежні век­тори є базис простору; кожні чотири вектори простору лінійно за­лежні.

3.  Базисом простору поліномів від одного змінного степеня ^ n є 1, x,x2, xn. Дійсно, якщо ao + a1x + ... + anxn = 0, то ao = = a1 = ... = an = 0. Отже, вимірність цього простору дорівнює n + 1.

4.  Простір всіх неперервних функцій на відрізку [0, 1] (позначається через C[0,1]) — нескінченновимірний.

Аналітична геометрія вивчає лінійні простори вимірності 2 і 3 над полем дійсних чисел, в яких введено скалярний добуток векторів.

 

1.5   Скалярний добуток векторів.

Нехай в просторі задано прямокутну декартову систему координат. Скалярним добутком векторів a = (a1, a2, a3) і b = (b1,b2,b3) (поз­начається через (a, b }) називається число

(a, b ) = a1b1 + a2b2 + a3b3.Властивості скалярного добутку.

1.  (a, a) = \a|2;

2.  (a, b к = (b, a

3.    Xa, b   = X a, b ;

4.  (a + b, c) = (a, c) + (b, c >;

Справедливість властивостей безпосередньо витікає із визначення скалярного добутку.

Доведемо коректність визначення, тобто незалежність його від вибо­ру системи координат. Дійсно,

(a + b, a + b) = (a, a) + 2(a, b) + (b, b ),

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія