О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 80

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

де

A = і   cos ф    sin ф

sin ф  cos ф

а рух gi, який переводить точку O в точку O' у вигляді:

z = Aix + b, (7.7) де b радіус-вектор точки O', матриця Ai має вигляд:

A = (  cos гр     sin ф \ 1     у ^ sin ф   ± cos ф J '

 

Розглянемо рух g 1 о g о g-1. Гз формул (7.6), (7.7) випливає, що рух g о g-1 має вигляд

У = AA-1 (z b)'

Тому рух gі о g о g-1 задається рівнянням

 

y b = A1AA-1 (x b)' (7.8)

Детермінант матриці A 1AA- 1 додатний, оскільки det A > 0. Видно, що точку O' рух лишає на місці. Із теореми Шаля випливає, що рівняння (7.8) — поворот навколо точки O'. Безпосереднім обчисленням перевіря­ється, що матриця A1AA-1 задає поворот на кут ф.Лема 7.2.2. Якщо група має в собі поворот g на кут ф i паралельний перенос T, то вона має в со6і і паралельний перенос T', який утворює кут ф з T і який співпадає з T за розміром.

Доведення. Центр повороту g виберемо за початок координат. Тоді рух g має вигляд

z = Ax.

Паралельний перенос T має вигляд

y = x + b.

Розглянемо рух T' = g о T о g-1. Рух T о g-1 має вигляд

y = A-lz + b.

Тому рух T записується так:

y = A(A-lx + b) = x + Ab,

тобто є паралельний перенос на вектор Ab, який одержано із вектора b обертанням його на кут ф.

Перейдемо до доведення теореми 7.2.1. для двовимірного випадку.

Доведення. Випадок площини. Нехай Г — федорiвська група вла­сних рухів площини. Рух, якщо він не є паралельним переносом, є пово­рот навколо деякої точки центру повороту. Нехай рух g із групи Г є поворот на кут ф навколо точки O. Кожна точка O' із орбіти ГO також є центром повороту одного або декількох рухів із групи Г. Дійсно, якщо рух gi із Г переводить точку O' в точку O, то рух g' = g-1 о g о gi нале­жить групі Г і за лемою 7.2.1. буде поворотом на кут ф навколо точки

O .

За лемою 7.2.2. добуток g-1 о gi є паралельний перенос на вектор OOi. Разом з цим переносом в групі Г автоматично присутні паралельні переноси на всі вектори, кратні даному.

Тепер нам лишається виявити в групі Г перенос вздовж деякого ін­шого напрямку, що не співпадає з розглянутим.

Якщо кут ф < 180°, то, виконуючи поворот навколо точки O на кут ф проти годинникової стрілки, а потім такий же поворот навколо O , але за годинниковою стрілкою, ми одержимо перенос на вектор, не паралельний вектору OOi.

Якщо ж кут ф = 180°, то для одержання паралельного переносу вздовж нового напрямку досить виконати спочатку поворот навколобудь-якого еквівалентного О центра поворота, що не лежить на пря­мій ОО1 (такий центр повороту знайдеться тому, що орбіта ГО відносно федорівської групи не лежить на одній прямій). Таким чином, в групі Г присутні паралельні переноси вздовж двох векторів, що лежать на одній прямій, а звідси існує двовимірна підгрупа переносів, породжена цими векторами.

Кожен рух із дискретної групи Г має вигляд у = Ах + Ь. Поставимо у відповідність йому рух у = Ах. Ця відповідність є гомоморфізм груп. З огляду на дискретність групи Г група рухів у = Ах є скінченною. Вона є підгрупою дискретної групи Г, яка лишає фіксовану точку нерухомою. Це групи симетрій самого орнаменту, породженого дискретною групою. На площині вони зводяться до Сп і Dn, причому можуть бути лише Сі, Сг, Сз, С4, Сб, D\, D2, D3, d4, Dq.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія