О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 81

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Рис.т Рис.т

 

Оскільки в кожній групі є підгрупа власних рухів, не обмежуючи за­гальності можна досліджувати лише групи, які складаються із власних рухів. Нехай О центр обертання підгрупи Сп, Т паралельний пере­нос на вектор найменшої довжини в дискретній групі Г. Нехай точка Р образ точки О при паралельному переносі Т, точка Q образ точки Р при повороті на кут Згідно з другою лемою існує паралельний перенос Т', що переводить точку О в точку О'. Паралельний перенос (Т')_1 о Т переводить точку Q в точку Р. Тому з огляду на мінімаль­ність переносу Т, QP > ОР. Із властивостей рівнобедреного трикутника OQP (рис. 182) випливає, що ^ > |, звідки п < 6.

Доведемо тепер, що на площині немає поворотних симетрій 5-го по­рядку. Припустимо протилежне. Нехай точка Q образ точки Р при повороті на кут R образ точки Р при повороті на кут тр, 5* образ точки R при паралельному переносі Т. Розглянемо трикутник ORS (рис. 183), OR = RS, кут R дорівнює |. Тому OS < RS. За другоюлемою OR є паралельний перенос, що належить дискретній групі, i OS також є паралельний перенос як композиція двох паралельних перено­сів. Ми одержали суперечність з тим, що T мінімальний паралельний перенос.

В плоских i просторових кристалах немає симетрії C5 i Cs. В живій природі, навпаки, широко поширені симетрії C5 і Cs. Є гіпотеза, у відпо­відність з якою симетрії C5 і Cs найпростіших живих істот зумовлені їх боротьбою за існування, так живі істоти страхуються від скам'яніння.

У просторі існують 32 підгрупи, що залишають точку на місці, і, як показано вище, підгрупа паралельних переносів ma + nb + pc. Звідси і одержують класифікацію федорівських груп.

 

7.3   Афінні перетворення.

Афінні перетворення задаються рівняннями в координатному вигля­ді

уг = aj xj + Ьг,

де i, j = 1, 2 у випадку площини, i, j = 1, 2, 3 у випадку простору. В матричному вигляді

 

y = Ax + b. (7.9)

Приклади.

1.  Рух є афінне перетворення.

2.  Стискання є афінне перетворення.

Будемо розглядати зараз невироджені афінні перетворення, тобто такі, у яких det A = 0.

Властивості афінних перетворень.

1.  Відображення (7.9) взаємно однозначне, оскільки det A = 0 і си­стема (7.9) має єдиний розв'язок.

2.  При відображенні (7.9) пряма переходить в пряму.

Доведення. Нехай пряма задана рівнянням хг = хг0 + агt, або в матричному вигляді x = xо + at. Підставляючи значення x в рівняння (7.9), одержимо

y = A(x 0 + a t) + b = Ax 0 + b + (Aa )t.Останнє рівняння задає пряму, тому що Аа ф 0, det А ф 0 і а ф 0.

Перетворення (7.9) у просторі площину переводить в площину.

3.  Паралельні прямі переходять у паралельні прямі.

Справді, напрямні вектори образів паралельних прямих будуть нену-льовими і колінеарними. Зауважимо, що якщо навіть det А = 0, то прямі або перейдуть у точку, якщо Аа = 0, або перейдуть у паралельні прямі.

У просторі відображення (7.9) переводить паралельні площини в па­ралельні площини.

4.  Інваріантом афінного перетворення є просте відношення.


Згадаємо, що інваріантом руху є відстань. Нехай на двох паралель­них прямих розташовані відрізки А\А2, В\В2 (рис.184). Відношення довжини цих відрізків і в1 в2! називається простим відношенням.

Доведемо властивість 4.

Доведення. Нехай на паралельних прямих

 

h : х = сі + at,    l2 : x = c2 + ат

лежать відрізки A\A2, A^A4, відповідно.

Точкам A\, A2, As, A4 відповідають значення параметрів відповід­но t\, t2, т\,т2. При афінному відображенні у = Ах + b прямі 1\, 12 перейдуть у паралельні прямі

у = Aat + Аа + Ь,   у = Аат + Ас2 + Ь,

точки Аі в точки Ві = 1,.., 4). Оскільки,

\АіА2\ = \a\\t2 - h\,   \А3А4\ = \а\\т4 - т3|,7.3. АФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ. 229 \ВіВ2\ = \Aa\\І2 - t\\,    \B3B4\ = \Aa\\п - тз\,то

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія