О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 82

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

\AiA2\ = \BiB2\ \A3A4\     \B3BA\Зауважимо, що властивість 4 має місце i для виродженого афінного перетворення, якщо прямі переходять у прямі, а не в точки.

Також, зауважимо, що можна обмежитися розгляданням перетворен­ня y = Ax замість y = Ax + b, оскільки перетворення y = Ax + b відріз­няється від перетворення y = Ax тим, що до останнього добавляється паралельний перенос.

Нехай перетворення y = Ax задано на прямій. Тоді A число і \A\ коефіцієнт розтягування відрізків.

Нехай перетворення y = Ax задано на площині, в координатному вигляді воно запишеться так:{


y1 = aix1 + a2x2, y2 = afx1 + a2x2.Базисні вектори ei = (1, 0) і e2 = (0,1) під дією нашого перетворення перейдуть у вектори е1 = (a^,a"^), Є2 = (a1, a2).

Нехай S площа квадрату, натягнутого на вектори e 1, e2, S = 1. Нехай S площа паралелограма, в який перейшов квадрат, тобто па­ралелограма, натягнутого на вектори е1, е2,

S = \ det    ai   1    \ = \ det A\.Розглянемо тепер довільний паралелограм, натягнутий на вектори e 1 = (l1, l2) і e2 = (l^,l'22). Його площа S = \ det L\, деL


( li   Я \

l2 l22При афінному перетворенні y = Ax вектори e 1, e 2 перейдуть відпо­відно у вектори

e 1 = (a\l 1 + a2l2, a\l\ + a2l 2),   ~e2 = (a11\ + a2l2, a2^ + a2l2).

 

Площа паралелограма, натягнутого на вектори e\, e2,

 

S = \ det(AL)\ = \ det A\\ det L\ = \ det A\S.Таким чином,

S = \ det A\.

 

Аналогічне твердження істинне i в просторовому випадку. З'ясуємо, скільки потрі6но задати точок i їх образiв, щоб афінне пере­творення

( y1 = alx1 + ai,x2 + b1,                                _ _

\ y2 = alx1 + a2x2 + b2 (.)

на площині визначалось однозначно.

Відмітимо, що власний рух на площині повністю визначається двома точками і їх образами.

Припустимо, задані точки x1(l1 ,mlJ, x2(l2,m2), x3(l3,m3). Їх обра­зи відповідно точки x;1(l1,fh1), x2(l2 ,m2), xc3(l3,fh3). Щоб визначи­ти афінне перетворення, потрібно визначити коефіцієнти системи (7.10). Підставимо в систему (7.10) координати заданих точок і їх образів, одер­жимо

 

1 = a[ll + а^ш1 + b1,   І2 = all2 + а^ш2 + b1,   І3 = all3 + a2m3 + b1;

m1 = ajl1 + a2ml + b2, m2 = ajl2 + a^m2 + b2, m3 = a2213 + a^m3 + b2. Але визначник системи

 

l1

m1

1

 

l2

2

m2

1

 

l3

m3

1

 

Отже, якщо три задані точки не лежать на одній прямій, то при до­вільному заданні їх образів однозначно визначається афінне перетворен­ня.

Щоб задати афінне перетворення в просторі, потрібно задати чотири точки, що не лежать в одній площині, і їх образи.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія