О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 83

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Таким чином, які б два трикутника на площині ми не взяли, існує афінне перетворення, яке переводить один трикутник в інший. Тобто з афінної точки зору всі трикутники дорівнюють один іншому (два три­кутники називаються рівними, якщо існує афінне перетворення, яке пе­реводить один трикутник в другий).

Всі тетраедри в просторі рівні між собою з афінної точки зору.7.3.1   Будова групи афінних перетворень на площині.

Афінні перетворення y = Ax з det A = 0 утворюють групу, яка називається повною лінійною над полем дійсних чисел і позначається через GL(n, R).

Сукупність перетворень y = Ax + b з det A = 0 також утворює гру­пу невироджених афінних перетворень. Група рухів є підгрупою групи невироджених афінних перетворень.

 

Теорема 7.3.1. Будь-яке невироджене афінне перетворення на площи­ні є композищя руху i стискання вiдносно двох ортогональних осей.

 

Доведення. Не обмежуючи загальності, будемо розглядати афінне перетворення f у вигляді y = Ax, det A = 0. При цьому перетворенні, коло одиничного радіуса перейде в обмежену криву 2-го порядку, тобто в еліпс, в осі еліпса перейдуть деякі діаметри кола, оскільки за 4-тою властивістю афінного перетворення центр перейде в центр. Покажемо, що ці діаметри ортогональні. Дійсно, розглянемо хорди еліпса, що па­ралельні одній осі. Другою віссю вони діляться пополам. Але ці хорди образи хорд кола, що паралельні відповідному діаметру. По основній властивості афінного перетворення другим діаметром вони поділяються пополам. Звідси випливає, що діаметри кола, які переходять в осі еліпса, ортогональні.

Здійснимо рух g площини, при якому центр еліпса збігається з цен­тром кола, а напрями головних осей — з напрямами відповідних діа­метрів. Введемо на площині прямокутну систему координат з центром у центрі еліпса і осями x1 , x2, напрямленими по головних осях еліпса. Композиція g о f є афінне перетворення S, в координатній формі воно записується таким чином:

 

y1 = a11 x1 + a12x2, \y2 = afx1 + a2x2.

 

Оскільки, при цьому перетворенні координатні осі переходять в себе, то при x2 = 0 буде y2 = a12x1 = 0, тобто a21 = 0. Аналогічно, a12 = 0. Тобто перетворення S = g о f є стискання площини вздовж координатних осей. Звідси, f = g-1 о S, і теорема доведена.

Аналогічно проводиться доведення в тривимірному випадку.7.3.2   Паралельне проектування.

Нехай вектор а = (а1, а2, а3) задає деякий напрям в просторі. Нехай тт площина, яка не паралельна а. Тоді кожній точці простору можна поставити у відповідність єдину точку площини тт наступним чином: не­хай Р довільна точка простору. Проведемо через Р пряму заданого напряму а. Пряма перетне площину тт в точці Р. Точці Р ставимо у відповідність точку Р (рис. 185).

 

Описане відображення називається паралельним проектуванням. Во­но не є взаємно однозначним: прямі, що паралельні а, переходять у точ­ку. Але якщо пряма не паралельна а, вона відображається в пряму.

Приймемо площину тт за координатну площину х1х2. Нехай довіль­на точка Р має координати (х1,х2,х3). Рівняння прямої, що проходить через точку Р з напрямним вектором а, будуть

у1 = + a1t, у2 = х2 + a2t, у3 = х3 + a3t.

Точка Р перейде при паралельному проектуванні в точку Р(у1,у2, 0), тобто для точки Р буде у3 =0, X3 + a3t = 0, t = ^з-

Таким чином, паралельне проектування аналітично задається фор­мулами

„Д       а3х1—а1х3

У    -   ^5 ,

 

/   „,2         а3х2—а2х3

У                 ,

 

у3 = 0,

з яких видно, що воно є афінним перетворенням, причому виродженим, оскільки det /4 = При паралельному проектуванні паралельні прямі переходять у па­ралельні прямі, просте відношення є інваріантом.

Ці властивості є основою правил зображення просторових фігур на площині за допомогою паралельного проектування.

Теорема 7.3.2. З точністю до подібності будь-які два трикутники в просторі можна одержати один з другого за допомогою паралельного проектування.

Доведення. Розглянемо два довільні трикутника: АА\А2Аз і АА\А2Аз.
За допомогою руху сумістимо точку А\ з точкою А\, пряму А\А2 з пря-
мою
А\А2 (рис.186). Після цього здійснимо гомотетію з центром в точці
А\ і коефіцієнтом k =                точка А2 перейде в точку А2 (рис. 187).

Композиція руху і гомотетії це перетворення подібності.

 

Рис

 

Таким чином, застосувавши перетворення подібності, ми сумістимо точки А\ з А\, А2 з А2.

Розглянемо тепер паралельне проектування на площину АА\А2Аз в напрямку прямої Аз Аз, якщо точки A3, A3 не співпадають. Воно пере­веде АА\А2Аз в АА\А2Аз, що і потрібно було довести. Якщо A3 = A3, то напрям проектування можна взяти перпендикулярним до площини трикутників.

Приклади.

1.  Образом квадрата при паралельному проектуванні буде довільний паралелограм, оскільки паралельність сторін зберігається.

Розглянемо правильний шестикутник А\А2АзА4А^А^ (рис.188, а). Якщо на деякій площині тт довільно задати точки А\, А2, A3, що нележать на одній прямій, то знайдеться паралельне проектування (з

точністю до подібності) на площину 7г, яке переводить точку А\ в

точку А\, А2 в А2, As в А%. Образи решти точок довільно вибрати

не можна, вони однозначно відновлюються. Точка Aq середина

Оскільки, !^2^°!

відрізка А\Аз перейде в точку Aq середину відрізка А\А^.

\А2Ао\                     «

, то можна знайти точку Л5.

1^4.0^4.51

Пряма 1\ паралельна прямій А2А%, пряма /3 паралельна прямій А2А§, звідси можна знайти точку Aq.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія