О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 84

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Пряма 12 паралельна прямій А\А2, пряма І4 паралельна прямій А2А§, звідси можна знайти точку А4 (рис.188, Ь).

 

Ал

 

 

 

А   ° /

А А6

а


 

 

 

 

 

АРис

3.  Образом вершин тетраедра при паралельному проектуванні на пло­щину може бути довільний набір з 4 точок площини, ніякі три з яких не лежать на одній прямій.

4.  Що може бути образом куба при паралельному проектуванні? Три ребра куба, що виходять з однієї вершини, можуть перейти в до­вільні три відрізки, одна гранична точка яких спільна. Далі образ куба відновлюється однозначно.

Розглянемо довільне виродження афінне перетворення координат

у1 = а\х1 + а\х2 + а\хъ + b1, у2 = а\х1 + а\х2 + а\хъ + б2, у3 = а\х1 + а\х2 + а\хъ + б3.Оскільки det A = 0, знайдуться такі числа А1, А2, А3, які одночасно не дорівнюють нулю, що

 

Аіу1 + А2У2 + Азу3 = -(Аіб1 + А262 + Азб3) = -c,

тобто образ простору при відображенні лежить у деякій площині, яку ми візьмємо за координатну площину ж3 = 0. Будемо розглядати випадок, коли ранг матриці A дорівнює двом (rgA = 2), тобто образом простору є вся площина. В новій системі координат перетворення запишеться в наступному вигляді (коефіцієнти знову будемо позначати через raj):

у1 = alx1 + a^x2 + a3x3, у2 = aix1 + O^x2 + a23xa, У3 = 0.

Виявляється, що справедлива

Основна теорема аксонометрії (теорема Польке — Шварца).

З точністю до подібності будь-яке вироджене афінне перетворення з рангом матрищ, що дорiвнює двом, є паралельним проектуванням.

 

7.4   Проективні перетворення.

Розглянемо пряму. Нехай точка P прямої має на ній координату x. Можна ввести на прямій однорiднi координати xx , xx так^: xx 2, де x2 = 0. Нехай точка P має однорідні координати (x1, x2). Тоді пара (у1, у2) задає ту ж точку P, якщо = ^2 = А, тобто якщо уг = Аxг, i = 1, 2. Всі пари одночасно не рівних нулю, розбиваються на класи еквівалентності: пара (x1, x2) еквівалентна парі (у1, у2), якщо уг = Аxг, А = 0, i = 1, 2. Кожен клас еквівалентності задає деяку точку прямої. Можна розглядати і точку з однорідними координатами (x1, 0). Пряма, до якої приєднана точка (x1, 0), називається проективною пря­мою.

Таким чином, проективна пряма це пряма з приєднаною нескін­ченно віддаленою точкою.

Розглянемо на площині x1x2 коло (x1)2 + (x2 1)2 = 1 і центральне проектування із точки (0,1) півкола AOB на вісь x1 (рис.189). Звичайна пряма при такому відображенні відповідає відкритому півколу AOB, проективній прямій дуга AOB з ототожненими граничними точками A і B, тобто, з топологічної точки зору, проективна пряма і коло не одне і те ж.Складається враження, що нескінченно віддалена точка відрізняється від інших точок проективної прямої. Це не так, всі точки проективної прямої рівноправні. Дійсно, розглянемо координатну площину х1х2. То­чки, що входять в один клас еквівалентності, заповнюють пряму, яка проходить через початок координат. Ця пряма точка проективної пря­мої, включаючи сам початок координат. Тому проективну пряму можна інтерпретувати як жмуток прямих площин х2, що проходять через початок координат. Всі прямі цього жмутка рівноправні.

Розглянемо площину, на якій введені координати х, у. Можна вве­сти на площині однорідні координати ж1, ж2, ж3 наступними чином: ж = = fs, У = fs, Де ж3 ф 0. Два набори чисел (ж1, ж2, ж3), (у1, у2, у3), одно­часно не рівних нулю, еквівалентні, якщо уг = Ххг, А ф 0, і = 1,2,3. Еквівалентні набори задають одну і ту ж точку площини. Доповнимо площину точками з однорідними координатами (ж1, ж2, 0) (вони на­зиваються нескінченно віддаленими) і одержимо так звану проективну площину.

Аналогічно, проективній прямій проективну площину можна інтер­претувати як в'язку прямих у просторі, що проходять через початок координат.

Розглянемо сферу з центром на початку координат. Кожна пряма в'язки перетинає сферу в двох діаметрально протилежних точках. Цю пару точок можна вважати точкою проективної площини, а проективну площину інтерпретувати як сферу з ототожненими діаметрально проти­лежними точками або півсферу з ототожненими діаметрально протиле­жними точками межі.

Можна дати ще одну інтерпретацію проективної площини. За до­помогою ортогонального проектування можна відобразити півсферу на круг, ототожнивши потім діаметрально протилежні точки кола межікруга, одержимо проективну площину.

Рівняння прямої на площині в неоднорідних координатах записує­ться так: a1x + a2y + аз = 0, в однорідних координатах рівняння цієї ж прямої: aix1 + a2x2 + азх3 = 0, це і буде рівнянням прямої на проективній площині.

Щоб знайти точку перетину двох прямих на проективній площині, потрібно розв'язати систему рівнянь

( a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0, \ b1x1 + b2x2 + b3x3 = 0.

Ця система рівнянь завжди має ненульовий розв'язок, тобто кожні дві прямі на проективній площині перетинаються. Перетворення на прямій, що задане формулою

a11 x + a12 a1 x + a2

називається проективним перетворенням на прямій. В однорідних ко­ординатах воно запишеться так:

y1 = a11 x1 + a12x2, y2 = a21x1 + a22x2.

 

Проективне перетворення на площині задається формулами

a11 x + a21y + a31           a21x + a22y + a23

Ж    a1x + a^y + a3,   У    a3x + a2y + a3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія