О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 85

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

В однорідних координатах проективне перетворення запишеться так:

 

y1    a11 x1 + a21 x2 + a13x3,

y2 = a^x1 + a22x2 + a23x3, (7.11)

3      3    1  3   2   3 3

y3 = a31 x1 + a23x2 + a33x3,

 

або в матричному вигляді y = Ax.

Якщо det A = 0, проективне перетворення називається невиродже-ним.

Властивості невиродженого проективного перетворення.

 

1. Невироджене проективне перетворення переводить пряму в пряму.Доведення. Кожну пряму можна задати лінійним рівнянням

ax1 + bx2 + ex3 = 0.

Із формул (7.11) x% через y% також виражається лінійно. Підставимо ці вирази у рівняння прямої. Одержимо лінійне рівняння відносно y%, тобто рівняння прямої.

 

2. Складне відношення інваріант проективного перетворення.

Складним відношенням чотирьох точок A1, A2, A3, A4 на прямій (позначається через (A1A2A3A4)) називається:

А А А )= IA1 A3l . IA2A31

 

Доведення. Нехай проективне перетворення f переводить пряму l в пряму І. Розглянемо рух g1, який вісь x1 переводить у пряму l, і g2, який переводить пряму l у вісь x1. Проективне перетворення f = g2 о f о g1 лишає вісь x1 на місці. Але рух не змінює довжин відрізків, тому досить провести доведення для перетворення f1. Таким чином, потрібно довести інваріантність складного відношення для проективного перетворення на прямій. Це доводиться безпосереднім обчисленням.

Нехай п деяка площина в просторі, Po точка, яка не належить площині п, і P довільна точка простору. Через точки Po і P проведемо пряму. Вона перетне площину п в точці P. Поставимо у відповідність точці P точку P (рис.190). Таке перетворення називається центральним проектуванням.

и

Вправа. Довести, що центральне проектування є вироджене проек­тивне перетворення простору, тобто проективним перетворенням з det A = 0.

 

7.4.1 Дуальність.

В проективній геометрії кожному твердженню відповідає дуальне йому твердження, яке одержане із першого заміною точок прямими і навпаки. Наприклад, твердженню: через будь-які дві різні точки пло­щини проходить одна пряма — відповідає дуальне твердження: будь-які дві різні прямі перетинаються в одній точці.

В проективній геометрії справедлива

Теорема Паскаля.Якщо в криву 2-го порядку вписано шестикутник, то протилежні сторони перетинаються в точках, які лежать на одній прямій. Дуальною їй є Теорема Бріаншона.

Якщо навколо кривої 2-го порядку описано шестикутник, то прямі, що з'єднують протилежні вершини, перетинаються в одній точці. Ця теорема була доведена через сто років після теореми Паскаля. Пряма на проективній площині в однорідних координатах задається рівнянням

u\xl + u2x2 + u3x3 = 0, (7.12)

де (x1, x2, x3) — однорідні координати точки, (ui, u2, U3) називаю­ться тангенціальними координатами прямої, вони також є однорідни­ми. Якщо x1, x2, x3 зафіксовані, а Ui, U2, U3 змінюються, то рівняння (7.12) задає жмуток прямих. Так дуальність проявляється аналітично.


Розглянемо перетворення проективної площини, яке переводить то­чки в прямі і навпаки, воно називається полярним перетворенням від­носно невиродженої кривої 2-го порядку. Вище ми ввели складне відно­шення чотирьох точок з використанням довжин відрізків. Можна ввести складне відношення через однорідні координати точок без використання довжин, а саме:

де (xa1, xa1, xa1) однорідні координати точки A1 і т.д. Нехай на площині задані крива 2-го порядку

3

aijxixj = 0

i,j=1

і точка A1(x0, x0, x0), що не належить кривій. Проведемо через точку A1 пряму l, вона перетне криву в двох точках B1 і B2. Знайдемо на прямій l таку точку A2, що (A1A2B1B2) = —1. Проведемо через точку A1 всі прямі і на кожній знайдемо точку, що має згадану властивість. Геометричне місце цих точок називається полярою точки A1. Точка A1 по відношенню до поляри називається полюсом.Складемо рівняння поляри. Нехай (x1, x2, x3) однорідні коорди­нати точки A2. Координати хг будь-якої точки прямої A1A2, що відріз­няється від Ai, можна записати у вигляді

 

х = x + Axg,   i = 1, 2, 3.

Безпосередньою перевіркою можна впевнитися, що складне відно­шення чотирьох точок A1, A2, \A1 + A2, /iA1 + A2, де ({Ai + A2) точка з координатами {xg + x1,

 

(Ai, A2, AAi + A2, 11A1 + A2) = -.

 

Звідси випливає, що точки Bi і B2 перетину прямої A1A2 з кривою 2-го порядку допускають представлення

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія