О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 86

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Bi = AAi + A2,   B2 = -AAi + A2.

 

Підставляючи координати точок Bi, B2 в рівняння кривої, одержимо

 

aij (±Axg + xi )(±Ax3g + xj) =

г, j

= A ^ ^ a,jxgxg ± 2A ^  a,jxgxj + ^ ^ a,jx xj = 0.

, j                       , j                   , j

Звідси випливає

a jxgxj = 0.

, j

Це є рівняння поляри. Таким чином, поляра є прямою.

Якщо точка A1(x0, x"^, x0) лежить на кривій, то рівняння задає до­тичну кривої 2-го порядку в цій точці. Тому можна визначити полярну точку, що лежить на кривій, як дотичну до кривої в цій точці. Відмітимо дві важливі властивості поляри.

1.  Поляра будь-якої точки B поляри точки Ai проходить через Ai.

2.  Якщо точка Ai рухається вздовж прямої, то її поляра обертається навколо деякої точки.

 

Дійсно, рівняння поляри точки B(xl, x2, x3)

У] aj x% xj = 0

, jзадовольняється координатами точки Ai, оскільки

 

^ ^ aij xgxj ^ ^ aijx xg,     aij aji,

, j                   , j

а

a j xx x jg  = 0

, j

з огляду на те, що B лежить на полярі точки Ai.

Нехай точка Ai рухається вздовж прямої, що з'єднує точки A'(x'i) і A"(x"i), i = 1, 2, 3. Поляра будь-якої точки цієї прямої буде

 

аг j xi (A'x'i + A"x"j) = 0,

, j

 

або

A    a jx x j + A    a jx x j = 0.

, j                       , j

Звідси видно, що поляра обертається навколо точки, що задається рівняннями

a jx x j   = 0,     a jx x   j   = 0.

, j                           , j

Вкажемо спосіб знаходження поляри точки A. Нехай точка A лежить поза кривою. Проведемо із точки A дотичні до кривої. Нехай Bi і B2 точки дотику. Поляри точок Bi, B2 є дотичними до кривої і за побу­довою проходять через точку A. За першою властивістю точки Bi, B2 лежать на полярі точки A. Пряма, що проходить через точки Bi, B2, буде полярою точки A.

Навпаки, по полярі полюс знаходиться таким чином. Нехай поляра перетинає криву. В точках перетину проводимо дотичні. Вони перетина­ються в полюсі.

Самостійно розглянути випадки, коли полюс лежить поза кривою і поляра не перетинає криву.

Використовуючи полярне перетворення, покажемо, як теорема Брі-аншона випливає із теореми Паскаля. Здійснимо полярне перетворення відносно кривої 2-го порядку, в яку вписано шестикутник. Вершини ше­стикутника перейдуть у дотичні до кривої, сторони в точки перети­ну дотичних. Таким чином, вписаний шестикутник перейде в описаний. Полярне перетворення, крім того, відобразить точки перетину протиле­жних сторін вписаного шестикутника в прямі (поляри), що з'єднуютьпротилежні вершини описаного шестикутника, а пряму, на якій лежать ці точки, в точку, яка є полюсом цієї прямої. Ця точка і буде точкою перетину прямих, що з'єднують протилежні вершини описаного шести­кутника, оскільки вона є точкою перетину поляр, полюси яких лежать на одній прямій.Бібліоґрафія

 

 

 

[1] Делоне Б.Н., Райков Д.А., Аналитическая геометрия. Т. I. М.; Л.: Гостехиздат. 1948. 456 с.

[2] Делоне Б.Н., Райков Д.А., Аналитическая геометрия. Т. II. М.; Л.: Гостехиздат. 1949. 516 с.

[3] Погорелое А.В., Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1968. 176 с.

[4] Ильин В.А., Позняк Э.Г., Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1981. 232 с.

[5] Курош А.Г., Курс высшей алгебры. М.: Наука. 1971. 431 с.

[6] Люстерник Л.А., Выпуклые фигуры и многогранники. М.: Госте­хиздат. 1956. 212 с.

[7] Кострикин А.И., Манин Ю.И., Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука. 1985. 303 с.

[8] Берже М., Геометрия. Т. I. М.: Мир. 1984. 559 с.

[9] Берже М., Геометрия. Т. II. М.: Мир. 1984. 336 с.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія