О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 9

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

звідси

<a, ^ = ~2                   Г .

Таким чином, скалярний добуток (a, b ) виражається через довжини векторів a, b і a + b, і тому не залежить від вибору системи координат.

Висвітлимо геометричний зміст скалярного добутку.

Оскільки скалярний добуток не залежить від вибору системи ко­ординат, виберемо її спеціальним способом: додатний напрям осі x спів­падає з напрямом a; площина xy співпадає з площиною, що натягнута на вектори a і b; додатний напрям осі y вибрано так, щоб вектор b лежав у півплощині y ^ 0; вісь z перпендикулярна до площини xy (рис. 21). В цій системі координат a = (\a\, 0, 0), b = (\b \ cos ф, \b \ sin ф, 0), де ф кут між векторами a і b, тобто кут між променями, що задають напрями векторів і які виходять із однієї точки. Тоді

(a, b ) = \a\\b\ cos ф.

Звідси витікає, що вектори a, b перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли (a, b ) = 0. Перпендикулярні вектори часто називаються ортого­нальними.

Фізичний зміст скалярного добутку.

1.  A = (F,S }, де A робота, F сила, S прямолінійний шлях, що пройдено під дією цієї сили.

E = m2^2 = m(v,v), де E кінетична енергія, и швидкість.
Знайдемо вираження скалярного добутку через координати векторів в косокутній системі координат. Можна вважати, що базисні вектори ко­сокутної системи координат, в свою чергу, задані своїми координатами в деякій прямокутній системі координат. Тому всі властивості скаляр­ного добутку для векторів в косокутній системі координат лишаються вірними. Розглянемо двовимірний випадок (рис. 22).

Нехай а = а1еі + а2Є2,   b = ble\ + Ь2е2.

Тоді

(а, Ь) = (а*еі +а2е2,  Ь1еі+Ь2е2) = = aV(ei, е\) + а162(еі, ег ) + а2Ь1{е2, е\) + а2Ь2{е2, е2 ) =

= (єі, ej гЬ3.

Позначимо (єі, ej ) = gij, тоді (a, b ) = д^аг&, де матриця G = (g^) має вигляд

q = ( 9u   9і2 \ = (       |еі|2 |ei||e2|cos^

V #21    #22 У       V  І Є2ІІ Єї I COS С/? |Є2|2

Якщо базисні вектори в\, е2 одиничні і ортогональні, то матриця G

одинична, тобто G =

Самостійно зробити те ж саме для тривимірного простору. Розглянемо прямокутну систему координат. Нехай в\, е2, ез оди­ничні вектори, що мають напрями осей координат. Тоді

{ег,е3) = 5гз = \ і' i=J:

\        '           10, гф.],

де 5ij називається символом Кронекера.

Нехай вектор а = а1 е\+а2е2+а3ез. З'ясуємо геометричний зміст а1, а2, а3:



а1 =

еі > =

а cosyi,

а2 =

е2> =

а cos</?2,

а3 =

е3> =

а совуз,

ДЄ (fit

=

(«Ге*)

кут між векторами а і єі, і = 1, 2, 3 (рис. 23

Косинуси кутів (fii називаються напрямними косинусами вектора а. Легко бачити, що cos2 у і + cos2 у 2 + cos2 <рз = 1.

 

 

1.5.1   Проекція вектора на вісь.

Нехай вектор b задає напрям осі в просторі, а довільний вектор простору.

Ортогональною проекцією вектора а на вісь І (позначається через Ргьа) називається вектор, який одержується так: із початку і кінця век­тора а опускаємо перпендикуляри на вісь І, одержуємо відповідні точки початку і кінця вектора проекції Ргьа (рис. 24).

Відкладемо вектор, що дорівнює вектору а, від основи перпендикуля­ра, який опущено з початку вектора а на вісь І. Проекція цього вектора на вісь співпадає з проекцією вектора а. Тому

\Ргьа\ = \а\\cosy?I,  Lp = {a~b).

 

, Ь

Ргьа = ± a cosy? тут І о І

В останній формулі береться знак (+) , коли вектори Ргьа і b спів-напрямлені. Але тоді cosy ^ 0 і |cosy| = cosy. Знак (—) береться, коли вектори Ргьа і b протилежно напрямлені, але тоді cosy < 0 і I cos у І = —cosy. Тому Ргьа = Iа! ^°sy fo. Помножимо чисельник і зна­менник останньої формули на \Ь\, одержимо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія