В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

В.П.Лавренчук, П.П.Настасієв, О.В.Мартинюк, О.С.Кондур

 

 

 

 

 

Вища математика

 

Загальний курс

 

Частина II

 

Математичний аналіз і диференціальні рівняння

 

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів

 

 

 

Чернівці Книги - ХХІ 201ББК 22.11я73 Л 135

УДК 51(075.8)

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів (лист про надання грифу №1.4/18-Г-239 від 28.01.08 р.)

Рецензенти:

Євтухов В.М., доктор фізико-математичних наук, професор, завіду­вач кафедри диференціальних рівнянь Одеського національного університету ім. 1.1.Мечникова,

Іванчов М.І., доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного універси­тету імені Івана Франка,

Ільків В.С., доктор фізико-математичних наук, професор кафедри обчислювальної математики та програмування НУ „Львівська політехніка",

Никифорчин О.Р., кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри алгебри та геометрії Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника.

Лавренчук В.П., Настасієв П.П., Мартинюк О.В., Кондур О.С.

Л 135 Вища математика. Загальний курс. Частина 2. Математичний аналіз і диференціальні рівняння: Навчальний посібник. - Чернівці: Книги - ХХІ, 2010. - 556 с.

ISBN 978-966-2147-73-5

Посібник написаний у відповідності з програмою курсу вищої математики для нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. Матеріал викладено строго і доступно. У кожному розділі наведено велику кількість прикладів, які ілюструють теоретичний матеріал, а також багато задач і вправ для самостійної роботи.

Друга частина посібника містить такі розділи: теорія границь, диференціальне числення функцій однієї змінної, невизначений і визначений інтеграли, диференціальне числення функцій багатьох змінних, кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли, ряди і диференціальні рівняння.

Для студентів напрямів: біологія, хімія, географія, туризм, земле­впорядкування та кадастр, економічні та інженерно-економічні.

ББК 22.11я73

ISBN 978-966-2147-73-5        © Лавренчук В.П., Настасієв П.П.,

Мартинюк О.В., Кондур О.С., 201Передмова

 

Друга частина пропонованого посібника присвячена основ­ним поняттям математичного аналізу та диференціальних рів­нянь.

Створення Ньютоном i Лейбніцем понад три століття тому основ диференціального та інтегрального числення відіграло важливу роль в науці взагалі й математиці зокрема.

Математичний аналіз, аналітична геометрія та алгебра, пе­реплітаючись, утворили той фундамент, на якому базуються всі сучасні математичні дисципліни та їхнє використання в на­уці й техніці. Саме завдяки цьому математичний аналіз поряд з алгеброю і геометрією є основою курсу вищої математики.

Математичний аналіз в цьому посібнику охоплює теорію границь і неперервність функцій, диференціальне та інте­гральне числення, ряди.

Теорія границь лежить в основі визначення класу неперерв­них функцій. За допомогою границь також вводяться поняття похідної, інтеграла, суми ряду, тощо.

У диференціальному численні значна увага акцентується на понятті похідної функції та вивченні її основних властиво­стей. Наводяться різноманітні застосування диференціального числення в економіці та природознавстві.

Інтегральне числення містить виклад теорії інтеграла Ріма-на та його узагальнення, а саме, невласних інтегралів. Подано застосування інтегралів до розв'язання задач геометрії, еконо­міки та природознавства.

Значна увага приділяється також інтегральному численню функцій багатьох змінних та його застосуванню.

Широко висвітлено в курсі теорію числових, функціональ­них рядів і рядів Фур'є.

Заключний розділ курсу присвячений диференціальним рівнянням. В ньому відзначено важливу роль математичних моделей при описані та вивченні конкретних явищ і задач при­родознавства. Наведено різноманітні застосування диферен­ціальних рівнянь у фізиці, біології, хімії та економіці.

 

 

3Основні особливості цієї частини курсу пов'язані з більшим, ніж в першій частині, рівнем абстрактності. Тому для кращого сприйняття і розуміння матеріалу автори вважали за необхідне проводити виклад від простого до складного, супроводжуючи його, де це можливо, рисунками. При цьому виділяються най­істотніші методи і факти, а також пропонуються лише такі до­ведення, які є типовими і повчальними.

Основний текст містить досить велику кількість розв'яза­них прикладів, кожний параграф закінчується вправами для самостійного розв'язання. Ми сподіваємося, що це суттєво до­поможе студентам у неформальному і глибокому засвоєні тео­ретичного матеріалу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 6 Функції однієї змінної

§1. Поняття функції

1.1.  Змінні величини. При вивченні закономірностей,
які зустрічаються у природі, доводиться мати справу як зі ста-
лими величинами, так і зі змінними.

Сталою називається величина, яка зберігає одне й те саме значення або взагалі, або у даній ситуації. У другому випадку сталу величину називають параметром.

Змінною називається величина, яка може набувати різних числових значень.

Змінну величину (змінну) вважають заданою, якщо відома множина всіх числових значень, яких вона може набувати. Ста­лу величину можна розглядати як частинний випадок змінної, коли множина її числових значень складається з одного числа.

Числові значення змінної величини утворюють певну мно­жину дійсних чисел. їй відповідає деяка множина точок число­вої осі. Найчастіше ми зустрічатимемося з числовими множи­нами таких типів: інтервал (a; b); відрізок [a; b]; напівінтервали або напіввідрізки [a; b), (a; b]; необмежені інтервали (a;+oo), (—оо; b) або необмежені відрізки [a;+oo), (—оо; b]; уся числова вісь ( — оо;+оо). Усі вони детально описані в розділі 1 першої частини.

Надалі всі указані множини об'єднуватимемо терміном про­міжок.

Будь-який інтервал, що містить точку a, називається око-лом точки a. Інтервал (a — є; a + є), тобто множина точок x таких, що \xa\ < є, де є > 0, називається є-околом точки a.

1.2.  Поняття функції. Способи задання функції.

При вивчені різних явищ та процесів, як правило, маємо справу з сукупністю змінних величин, які зв'язані між собою так, що значення одних величин, що називаються незалежними змін­ними, повністю визначають значення інших, які називаються залежними змінними або функціями.

 

5Змінна величина y називається функцією змінної вели­чини x, якщо вони зв'язані між собою так, що кожному роз­глядуваному значенню величини x (допустимі значення) від­повідає єдине цілком визначене значення величини y.

При цьому x називається аргументом або незалежною змінною, а y - залежною змінною або функцією.

Сукупність усіх значень незалежної змінної x, для яких функція y визначена, називається областю визначення або областю існування функції і позначається символом D(y) або X.

Сукупність усіх значень y називається множиною зна­чень функції і позначається символом E(y) або Y.

Той факт, що y є функцією від x, скорочено позначатимемо так:

y = f (x),  x є X,

де символ f називається характеристикою функції й озна­чає правило, за яким елементу x Є X відповідає єдиний еле­мент y Є Y. Тоді множина значень функції Y = {y : y = f (x),x Є X}.

Якщо функція f ставить у відповідність числу xo деяке число yo, то це записують у вигляді yo = f (xo) і при цьому yo називають значенням функції при x = xo.

Поряд із терміном функція використовують рівнозначний термін відображення, а замість запису y = f (x) пишуть f : x —► y і кажуть, що f відображає число x у число y, або, що число y є образом числа x при відображенні f.

При обчисленнях запис y = f(x) зручніший запису вигляду f : x —► y. Наприклад, запис f (x) = x2 значно зручніше і простіше використовувати при аналітичних перетвореннях, ніж запис f : x —> x2.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння