В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 100

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

2 Функцію витрат знаходимо інтегруванням

x

f (x) = J f'(t)dt + C,   x Є [1;20],

1

де стала C визначається з умови f(1) = 100. Маємо

x

f (x) = J (3t2 48t + 202)dt + C, 1

або

f (x) = (t3 24t2 + 202t) |x + C, f (x) = (x3 24x2 + 202x) (1 24 + 202) + C. Оскільки f (1) = 100, то звідси одержуємо

100 = C,

 

а тому

f (x) = x3 24x2 + 202x 79,   x Є [1; 20].

Підставивши x =10 в одержану формулу, знайдемо шукане зна­чення

f (10) = 103 24 102 + 202 10 79 = 541 грн.

2.6.4.2. Розглянемо задачу про знаходження кашта-

лу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями. Під чистими інвестиціями (капіталовкладеннями) розуміємо су­купні інвестиції, здійснювані в економіці протягом певного про­міжку часу (найчастіше року) без інвестицій, які йдуть на за­міщення основних фондів (капіталу). Отже, за одиницю часу капітал збільшується на величину чистих інвестицій.

Позначимо капітал на момент часу t через K(t), а чисті інвестиції - через I(t). Тоді описане вище можна записати у вигляді рівності I(t) = K'(t).

Якщо треба знайти приріст капіталу за період часу від ti до t2, тобто величину AK = K(t2) K(ti), то, скориставшись

 

 

20означенням визначеного інтеграла, матимемо

 

AK = j I(t)dt.

ti

Приклад 12. Відомо, що чисті інвестиції визначаються фор­мулою I(t) = 6000л/ї. Знайти приріст капиталу за чотири роки.

4

А Маємо AK = K(4) - K(0) = / 6000\/tdt = 60002t3/2 4

J                               3 0

о

= 6000 2(43/2 - 0) = 60002 8 = 32000. ►

3 3

2.6.4.3. Функцією Коба-Дугласа називається ви­робнича функція, яка описує залежність обсягу q випуску про­дукції від витрат капіталу xi і витрат трудових ресурсів Х2, яка має вигляд q = bo^fx^~a, де бо - параметр продуктивності конкретної технології, 0 < а < 1 - частка капіталу в доході.

Якщо витрати капіталу сталі, а витрати трудових ресур­сів залежать від часу, то функція Коба-Дугласа має, зокрема, вигляд q(t) = (at + 0)ext, де а, в, х - параметри задачі. У цьому випадку обсяг продукції, яка випускається за проміжок часу від ti =0 до t2 = T, дорівнює

т

Q = j(at + e)extdt. (24) о

Приклад 13. Знайти обсяг продукції, виробленої фірмою за два роки, якщо функція Коба-Дугласа q(t) = (1 + 2t)e3t. А Згідно з формулою (24)u = 1 + 2t, du dv = e3tdt, v


Лнтегруючи частинами, одержимо

2dt

-(1 + 2t)e3tl

Q

= 1 e3t

2 2 - 2 у e3tdt =

 

20i(5e° - 1) - § е­


3(5е6 -1) - 9е6+913 6 1 = — е6 — w 851, 572 ум.од.

99

2.6.4.4. Денний виробіток. Знайти денний виробіток P за восьмигодинний робочий день, якщо продуктивність праці протягом дня змінюється за законом

p(t) = -0, 2t2 + 1, 6t + 3,

де t - час в годинах.

А Вважаючи, що продуктивність змінюється протягом дня неперервно, тобто p є неперервною функцією аргументу t на відрізку [0; 8], денний виробіток P виразимо визначеним інте­гралом

8

р = / Р{т.Отже,

8                                       /       t3    1 6t2

P =    (-0,2t2 + 1,6t + 3)dt = ( -0,2- +        + 3t

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння