В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 101

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

О


 

 

 

 

О83 2

= -0, 2 • — + 0, 8 • 82 + 3 • 8 = -34,13 + 51, 2 + 24 = 41, 07. ►

3

2.6.4.5. Знаходження дисконтованої вартості грошо­вого потоку. За кінцевою величиною Kt грошового потоку у момент часу t треба знайти його початкову величину при відо­мій відсотковій ставці p.

p

Якщо відсотки прості, то Kt = Ko(1 + rt), де r = - пи-
тома відсоткова ставка. Тоді
Ko = --- -—. У випадку складних

1 + rt

відсотків Kt = Ko(1 + rt)- і тому Ko = (------ -L-. При непере-

(1 + rt)-

рвному нарахуванні відсотків кінцева сума Kt = Koer-. Якщо

 

203суму Kt вважати функцією часу /(і), то дисконтована сума на момент часу t становитиме Ko = /(t)e~rt.

Повна дисконтована сума за час t обчислюється за форму­лою

t

Kd = У /)e~rrdr. (25) o

Приклад 14. Під будівництво деякого об'єкту виділено непе­рервний грошовий потік, який визначається функцією /(t) = —t2 + 20t + 5 (мільярд грн./год) протягом 20 років з річною відсотковою ставкою p = 5% Знайти дисконтовану вартість цього потоку.

А Згідно з формулою (25) маємо

20

Kd = J(—t2 +20t + 5)e-0'05tdt.

0

t

0

20

т

0

—1

Для спрощення обчислень зробимо спочатку заміну змінної

т = —0,05t,   t = —20т,    dt = —20dr, Тоді

-1 о Kd = —20 У (—400т2 400т + 5)eTdr = 20 J(—400т2 400т + 5)eTdr

0 -1

= —400т2 400т + 5, du = (—800т 400)dт,

dv = eT dт,        v = eT20  (—400т2 400т + 5)eT

 

 

u = 800т + 400, du = 800d^

dv = eT dт,        v = eT

-1 1

+ / (800т + 400)eT = 20 ^5 5e-1 + (800т + 400)eT J 800eT= 20 ^5  5e-1 + 400  (—800 + 400)e-1  800eT j

 

 

20= 20    - 5e-1 + 400 + 400e-1 - 800 + 800e-1J = 20(-395 + 1195е_ 1) = = 20(-395 + 1195 • 0.3679) = 892, 8 мільярда грн.

 

Якщо грошовий потік є неперервним, наприклад, у випадку експлуатації земельної ділянки, r - неперервна відсоткова став­ка, а f (t) - відповідна рента на момент часу t, то дисконтовану вартість земельної ділянки знаходять за формулою

оо

Kd = j f (t)e~rtdt.

0

Приклад 15. Нехай f (t) = 5e-0'rt (млн. грн/год) - рента, одер­жувана від земельної ділянки, r = 10% - вщсоткова ставка. Знайти дисконтовану суму.

А Маємо

оо оо

/ e-0,8t

V —078"

Kd = J 5e-0,7t e-0,1tdt = 5 У e-°,8tdt = о о

b /

e-0,8t

lim 5  / e-0,8tdt = 5 lim

b>оо     J           b>оо \   —0, 8

0

5 lim f-------- 1--- ] = ---- = 6, 25 (млн.грн.). ►

 

2.6.4.6. Нижче наведемо приклади застосування визначе­ного інтеграла в прикладних задачах.

1) Робота змінної сили. Робота змінної сили f, що діє вздовж осі Ox на відрізку [a; b], виражається інтегралом

 

A = У f (x)dx.

 

Приклад 16. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пру­жину на 4 см, якщо від навантаження в 1 Н вона розтягується на 1 см?

 

205А Згідно з законом Гука, сила fH яка розтягує пружину на x м, дорівнює f (x) = kx. Коефіцієнт пропорційності к знайдемо з умови f (0,01) = 1 Н, тобто к0, 01 = 1, звідки к = 100. Отже, f (x) = 100x. 0,04

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння