В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 106

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Оскільки кожній парі чисел (x; y) відповідає єдина точка M(x; y) площини Oxy, і навпаки, кожній точці M(x; y) відпо­відає єдина пара чисел (x; y), то функцію двох змінних можна розглядати як функцію точки M(x; y). Тому замість f (x, y) пи­сатимемо f(M). У цьому випадку областю визначення функції є деяка множина точок площини Oxy.

 

213Подібно до того, як функція однієї змінної у = f (х), X Є X, геометрично зображується графіком, можна геометрично тлу­мачити і функцію z = f (х,у), (х; у) Є П. Ставлячи у відпо­відність кожній точці (х; у) Є П аплікату z = f (х,у), діста­немо деяку сукупність точок (х; у; z) тривимірного простору R3 - найчастіше деяку поверхню. Тому рівність z = f (х,у), (х; у) Є П називають рівнянням поверхні. Отже, графіком функції двох змінних називається множина точок простору R3 вигляду

Г/ = {(х; у; z) : z = f (х, у), (х; у) Є п}.


Приклад 3. Знайти область визначення функції z = \JR2 х2 у2 i побудувати її графік.

А Оскільки вираз \JR2 х2 у2 визна-
- '■                          чений, коли R2 х2 у2 > 0, то областю

R                   визначення функції є множина точок пло-

щини, для яких х2 + у2 < R2. Маємо круг з центром в точці (0;0), радіус якого R. Гра­фіком функції z = \JR2 х2 у2 є верхня половина сфери х2 + у2 + z2 = R2 (рис. 1).

Приклад 4. Знайти область визначення функції z = +

л/х + у

1

л/х у' _

А Область визначення зданої функції визначається системою нерівностей

Г х + у> 0, \ х у > 0,

що рівносильно нерівностям

—х < у < х.

214


Як і у випадку функції однієї змінної, способи задан­ня функції двох змінних є різними: табличний, графічний, аналітичний і словесний. Якщо функція двох змінних задана за допомогою аналітичного виразу без будь-яких додаткових умов, то областю її визначення вважатимемо множину всіх та­ких точок площини Оху, для яких цей вираз має зміст і дає дійсне значення функції.\   ,-'    Отже, область визначення

,-      Д                               П = {(х; у) Є R2 : —х < х}, тобто

внутрішня частина кута, утвореного бісектрисами координатних кутів у = —х і у = х.

Очевидно, що графік функції двох змінних складніший об'єкт, ніж графік функції однієї змінної. Крім того, поверхня в просторі володіє меншою наочністю, ніж лінія на площині. Тому у випадку двох змінних бажано використовувати очевид­ніші зображення. До них належать, зокрема, лінії рівня.

Лінією рівня функції двох змінних z = f (х,у), (х; у) Є п, називається множина точок площини, для яких значення функції одне й те саме і дорівнює C, тобто f (х, у) = C.

Як правило, лінії рівня, які відповідають різним значенням сталої величини C, проектують на одну площину, наприклад, на координатну площину Оху. Тоді їх зручніше аналізувати і з їхньою допомогою досліджувати складний характер поверхні, яка описується функцією z = f (х, у), (х; у) Є п.

Отже, лінії рівня функції z = f (х,у), (х; у) Є П, - це сім'я кривих на координатній площині Оху, що описуються рівнян­ням

f (х,у)= C.

Як правило, беруть арифметичну прогресію чисел Ci з різ­ницею h; тоді за взаємним розміщенням ліній рівня можна уявити форму поверхні, яка описується функцією z = f (х,у), ( х; у) Є п . Там, де функція змінюється швидше, лінії рівня скупчуються, а там, де поверхня полога, лінії рівня розміщу­ються рідше.

Лінії рівня застосовуються при зображені на географічних картах гір і впадин.

Приклад 5. Побудувати лінії рівня функції z = х2 + у2 2у.

А Лінія рівня z = C - це крива на площині Оху, задана рівнян­ням х2 + у2 2у = C або х2 + \)2 = C +1. Маємо рівняння кола з центром в точці (0; 1) i радіусом л/C + 1 (рис. 2), якщо C > —1.

Точка (0;1) - вироджена лінія рівня, яка відповідає мінімально­му значенню функції z, що досягається в точці (0; ). Лінії рівня -

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння