В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 107

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

2
Ми розглянули детально поняття функції двох змінних та її області визначення. На практиці зустрiчаються функції трьох й більшого числа змінних.

Дамо означення функції трьох змінних.

Нехай П - множина впорядкованих трійок дійсних чисел (x; y; z), тобто множина точок простору R3, а X - деякий про­міжок числової осі.

Функцією трьох змінних називається правило, за яким кожній трійці (x; y; z) Є П відповідає одне число u Є X.

При цьому x, y і z називаються незалежними змінними (аргументами), u - залежною змінною (функцією), мно­жина П - областю визначення функції, а X - множина зна­чень функції, тобто X = {u Є R : u = f (x, y, z), (x; y; z) Є П}.

Функції трьох змінних позначаються так само, як і функ­ції однієї або двох змінних: u = f(x,y,z), w = w(x,y,z), де (x; y; z) Є П.

Приклад 6. Знайти область визначення функції u = ln(1 x2 y2 z2).

А Вираз, яким задана функція, має зміст тоді й тільки тоді, коли 1 x2 y2 z2 > 0, або x2 + y2 + z2 < 1. Отже, областю визначення функції є внутрішність кулі (відкрита куля) одиничного радіуса з центром в початку координат.

Аналогічно можна ввести поняття функції n змінних.

Областю визначення функції n змінних є деяка множина

 

216П, яка складається з сукупностей (xi; x2;...; xn) дійсних чисел. Позначення функції n змінних аналогічні позначенням функції двох і трьох змінних: u = f (x1, x2,..., xn), u = u(x1,x2,..., xn). Для збереження геометричної термінології, функцію n змін­них u = f (xi,x2,..., xn) при n > 3 також розглядатимемо як функцію точки x = (xi; x2;...; xn) n-вимірного простору Rn і позначатимемо символом u = f(x), x Є п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

217§2. Границя функції багатьох змінних. Неперервність функції. Точки розриву

При вивченні границі функції однієї змінної у = f (х) було введено поняття околу точки Хо. Під околом точки x0 розуміли довільний інтервал (a; b), який містить цю точку. Для означен­ня границі функції двох змінних z = f) нам треба ввести поняття околу точки Мо Є R2.

Околом точки Мо(хо; Уо) називається внутрішність круга з центром в цій точці. Якщо радіус даного круга дорівнює 5, то такий окіл називають 5-околом точки Мо.

f                                        Очевидно, що довільна точ-

ка М, яка належить 5-околу
М                     точки Мо, знаходиться від цієї

_ _             точки на відстані, меншій за 5

x

Рис. 3        (рис. 3).Нижче розглядатимемо функції двох змінних, визначених в деякому околі точки Мо. Число b називається границею функції двох змінних z = f) при М Мо, якщо для довільного є > 0 існує такий 5-окіл точки Мо, що для довільної точки М цього околу (за винятком, можливо, самої точки Мо) правильна нерівність

 

If) - b\ <є.

 

При цьому пишуть

 

lim   f) = b,   або    lim f(x,y) = b.

У^УО

Функція двох змінних називається нескшченно малою при М — Мо, якщо її границя дорівнює нулю.

Зауважимо, що коли число b є границею функції z = f) при М — Мо, то, як випливає з означення границі, різниця f) b = а(М) є нескінченно малою при М Мо.

х2 + у2

Приклад 1. Знайти lim

Lim

;z°0V х2 + у2 + і

 

21А Маем + y2
lim —,-------------

IZoV + У2 + 1 - 1

+ y2 = p2,

(x; y) (0;0) & p = lim        <L      = lim plb/P+±l±l) =
- 1                P2 + 1 - 1

= lim P2(vV + 1 + 1)= llm(v/p2TT + 1) = 1 + 1 = 2.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння