В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

f(0 — 0)=   lim f(x)=  lim (—1) = —1,

 

f (0 + 0)=  lim f (x)=   lim (1) = 1,

 

f(0) = 0

і, отже,


f (0 — 0) = f (0 + 0) = f (0).

Праве і ліве граничні значення функції f в точці а часто називають однобічними граничними значеннями.

Очевидно, що коли функція f має границю в точці а, то вона має й однобічні границі в цій точці, які однакові.

Обернене твердження таке: якщо обидві однобічні границі існують й однакові, то функція f має границю в точці x = a.

2.3. Границя послідовності. Розглянемо функцію, об­ластю визначення якої є множина натуральних чисел: x = f (n),n Є N. Така функція називається функцією натураль­ного аргументу або послідовністю. Значення цієї функції називаються членами послідовності і позначаються символа­ми xn, n Є N. Члени послідовності звичайно розміщуються у порядку зростання аргументу:

 

xi = f (1),x2 = f (2),...,xn = f (n),...,

 

 

 

3xi називається першим членом послідовності, x2 - другим чле­ном, ..xn називається n-ним або загальним членом послідов­ності.

Позначають послідовність символом (xn,n Є N), або {xn,n Є N}. Наприклад, символ і ,n Є N1 означає послідов-

n

ність чисел

1 1 1 1 2 3 n

1

Геометрично послідовність зображується на числовій осі у вигляді послідовності точок, координати яких дорівнюють від­повідним членам послідовності. На рис. 3 зображена послідов-

ність {xn,n Є N} = {n,n Є N} на числовій прямій.
1 1 1 4 3 2


 

Рис. 3Конкретизуючи означення границі функції lim f (x) на ви-

х—юо

падок функції натурального аргументу, приходимо до означен­ня границі послідовності.

Число а називається границею послідовності {xn,n Є N}, тобто lim xn = а, якщо для довільного є > 0 існує номер

n—oo

nn = nn(є) такий, що для n > nn виконується нерівність \xn а\ < є. У символічній формі:

lim xn = а <^\/є > 0 3nn Є N Mn> nn : \xn а\ < є.

n—o

Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має - розбіжною.

Зміст означення границі числової послідовності полягає в тому, що, починаючи з деякого номера nn, члени послідовності {xn, n Є N} як завгодно мало відрізняються від числа а (за абсолютною величиною менше, ніж на число є, яким би малим воно не було).

Приклад 4. Довести, що послідовність { ,n є N} має границю

n

lim — = 0.

n^oo n

3Доведемо, що для довільного є > 0 існує no = по(є) Є N таке, що \xn 0\ = \n 0\ = n < є для всіх n > no.

Очевидно, що \xn 0\ = \n 0\ = П. Якщо n > no , то П < -L.

Для того щоб виконувалась нерівність < є, досить взяти no > -,

1              no є

зокрема, можна взяти no = [—] + 1 .

Отже, для довільного є > 0 можна взяти no = [—] + 1. Тоді для

є

n > no виконуватиметься нерівність \xn 0\ < є, а це означає, що lim xn = lim — = 0. ►

n><oo n><oo n

n

Приклад 5. Довести, що lim ----- = 1.

n—o n + 1

Маємо

I   n          = n n1        1    =    1 1

 

Очевидно, що для довільного n > no виконується нерівність, <

n

1             ,   n               1      1   „                                п ^

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння