В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 111

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Отже,

dz(xo,yo)     і     f (xo + Ax,yo) - f (xo,yo)

dx           Ax^o ax

Аналогічно

dz(xo,yo) = lim f (xo,yo + Ay) - f (xo,yo)
dy          Ay^o                  ay '

З цього означення випливає, що частинна похідна функ­ції двох змінних по одному з її аргументів дорівнює границі відношення частинного приросту функції до приросту аргу­менту, який спричинив цей приріст, коли приріст аргументу прямує до нуля. Отже, кожна частинна похідна є фактично

dz

похідною функції однієї змінної dx = fX(x, у), де у = const,

dz

dy = f'y(x,y), де x = const. Тому при обчисленні частинних

похідних можна користуватися відомими правилами і форму­лами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому другу змінну сталою.

 

22dz(xo, yo)

З фізичної точки зору частинна похідна                       - це

dx

швидкість зростання функції z в точці (xo; уо) у напрямку осі

dz(xo, yo)

Ox, а------------ у напрямку осі Oy.

dy

З геометричної точки зору значення частинної похідної

dz(xo, yo)

----------  дорівнює тангенсу кута, який утворює з віссю Ox

dx

дотична, що проведена в точці Mo(xo; уо; zo) до лінії перерізу поверхні z = f (x,y) площиною у = уо. Аналогічний зміст має

dz(xo; yo)

частинна похідна --------- .

dy

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції z = x2y-3у2 +5x.

А Диференціюємо функцію спочатку по x, вважаючи у фіксова­ною величиною, а потім повторюємо це саме, міняючи місцями x і у. Одержуємо

dz                     dz 2

— = 2xy + 5,    — = x - 6у.

dx dy

 

Приклад 2. Функція Кобба-Дугласа - виробнича функція, яка описує обсяг випуску продукції f при витратах капіталу x і трудових ресурсів y має вигляд

f = Axayl-a,

де A > 0 - параметр продуктивності конкретної технології, 0 < а < 1 - частка капіталу в доході.

Знайти граничні показники обсягу продукції f при зміні одного із факторів: витрат капіталу x або величини трудових ресурсів у.

А Граничні витрати - це частинні похідні від функції Кобба-Дугласа по змінній x і y відповідно:

dl = Aaxa-1y1-a,    f = A(l - a)xay-a.

 

Доведемо, що у функції Кобба-Дугласа показники степенів а і 1-а є відповідно коефіцієнтами еластичності Ex(f) і Ey(f) по кожному із аргументів. Справді,Ex(f) =    =      x , Aaxa-1y1-a


а,225Зауваження. Часто еластичності функції z = f (х,у) по х і у записують у вигляді

^ , .     х dz      д(In z) Ex(z) = - — = х \ z дх дх

Ey (z) = у£ =

z ду ду

Приклад 3. Знайти коефіцієнти еластичності по х i у функції z = ху у точці (2; 3).

<  Маємо

д                  д 1

Ex(z) = х— (In ху) = х—(у In х) = ху- = у,
дх
                дх х

д д Ey (z) = утг (In ху) = у In х) = у In х. ду дх

Тому

Ex(z(2;3)) = 3,    Ey(z(2; 3)) = 3 In 2. ►

 

У §1 цього розділу ми ввели поняття лінії рівня. Для харак­теристики напрямку і величини максимальної швидкості зрос­тання функції в точці використовується поняття градієнта.

Градієнтом функції z = f (х,у), (х; у) Є Q, в точці (хо; уо) Є f називається вектор, координати якого дорівнюють

відповідно частинним похідним і в точці (хо;уо).

дх ду

Для позначення градієнта користуються символом

gradz(^;уо) = (д°1. дАхдуМ) . Приклад 4. Знайти градієнт і його модуль для функції z =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння