В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 115

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

Як і у випадку функції однієї змінної з диференційовності функції двох змінних випливає її неперервність, але не навпа­ки. Справді, нехай z = /(x,^), (x;у) Є      диференційовна в

 

23області Q. Тоді, згідно з означенням диференційовності, для довільної точки (xo; yo) Є П правильна рівність

 

lim Az = lim (Aax + Б Ay + a(ax, ay) + в (ax, ay)) = 0.

 

Звідси випливає, що f неперервна в кожній точці (xo; yo) Є Q. Обернене твердження, взагалі кажучи, не має місця, тобто з неперервності функції багатьох змінних не випливає її дифе­ренційовність. Наприклад, функція f (x,y) = \x\ + y є непере­рвною на R2, але вона не є диференційовною в точці (0;0), бо

fX(0, 0) не існує.

Приклад 3. Знайти на яку величину треба змінити у функції

Кобба-Дугласа f = Axayl-a обсяг капіталу x, щоб при зміні трудо­вих ресурсів на величину Ay випуск продукції залишався незмінним. А Знайдемо частинні похідні функції f:

dL = Aaxa-1y1-a,    df = A(1 - a)xay-a.

 

Згідно з умовою функція f повинна бути сталою, а тому дифе­ренціал цієї функції дорівнює нулю, тобто df = 0 або

 

 

 

Оскільки dx = Ax, dy = Ay, то рівність (3) має вигляд

 

■jf Ax +1fAy = 0. dx dy

Звідси одержуємо, що

f                           A(l a)x°y-a
Ax = - ^гт Ay   або   Ax = \----- '—-- Ay.

f Aaxa-1y1-a
l ax
Ax =-------- Ay.

ayЯкщо поділити обидві частини на x, то дістанемо Ax        l - a Ay

x ay


233Звідси випливає, що для компенсації зміни ресурсу праці на 1%

треба змінити ресурс капіталу на---- %.

а

З формули (4) одержуємо, що

Дх       1 ах
ay           а y'

або

сіхх        1    аа хх                             , .

=--------- . (5)

dy           а y

Рівність (5) називається граничною нормою заміни трудових ресурсів y капіталом х.

Вище було введено поняття диференціала диференційовної в точці (х; y) функції z = f (x,y) i одержана формула (1).

Будемо називати dz диференціалом першого порядку.

Для зручності домовимося позначати диференціал не тільки

символом d, але й символом 5, наприклад, 5х, 5y, 5z. Of df

Нехай функції і —— диференційовні в точці (х; y). Роз-Ох dy

глядатимемо сіх і dy у виразі (1) для dz як сталі множники. Тоді функція dz є диференційовною функцією змінних х, y і її диференціал має вигляд

5(dz) = 5 (іх +                        dy) = #- (іх+

\    Ох                dy       )     Ох \ Ох

 

 

 

Диференціал 5(dz) від диференціала dz в точці (х; y), взятий при = іх, 5y = dy, називається диференціалом другого порядку функції f в точці (х; y) і позначається d2z. У свою чергу, диференціал 5(d2z) від d2z, взятий при = іх, 5y = dy, називається диференціалом третього порядку функції f і позначається символом d3z і т.д. Диференціал 5(dn-1z) від диференціала dn-1z, взятий при = іх, 5y = dy, називається диференціалом n-го порядку (або n диференціалом) функції z = f (х, y) в точці (х; y) і позначається символом dnz.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння