В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

а тому \--- — 1 \ < < —. Якщо для даного є > 0 вибрати no

no             n + 1          n no

так, щоб виконувалась нерівність< є, то тоді \         1 1\ < є для

n

довільного n > no. Звідси й випливає, що lim    = 1. ►

n—o n + 1

Послідовність {an, n Є N} називається нескінченною ма­лою, якщо

 

lim an = 0 ^\/є > 0 3nn Є N Mn> nn : \an\ < є.

n—o

Якщо послідовність {xn, n Є N} збіжна і її границею є число а, то різниця {xn Є N} = {an,n Є N} є нескінченно малою послідовністю. Звідси випливає, що будь-який елемент xn збіжної послідовності, яка має границею число а, можна подати у вигляді

xn а + an,

де an - елемент нескінченно малої послідовності {an, n Є N}.

Легко можна довести, що коли всі елементи нескінченно малої послідовності {an,n Є N} дорівнюють одному й тому самому числу с, то c = 0.

 

33Розглянемо деякі властивості збіжних послідовностей. Теорема 3. Збіжна послідовність обмежена. Л Нехай {xn,n Є N} - збіжна послідовність і число a - її границя.

Нехай є > 0 - довільне число і no - номер, починаючи з якого виконується нерівність \xn a\ < є. Тоді для всіх n > no

 

\xn\ = \(xn a) + a\ < \xn a\ + \a\ < є + \a\.

Якщо взяти A = max{\a\ + є, \x\\,..., \xno\}, то \xn\ < A для всіх номерів n Є N, що й означає обмеженість послідовності {xn,n Є N}.

Обмежена послідовність може й не бути збіжною. Напри­клад, послідовність {( 1)n, n Є N} обмежена, але не є збіжною. Проведемо доведення від протилежного. Нехай границею цієї послідовності є число a. Це означає, що для довільного є > 0,

1

зокрема, і для є = ^, існує номер no такий, що при n > no виконується нерівність \xn a\ < ^. Оскільки xn набуває по черзі значення 1 або —1, то \1 a\ < ^ і \(1) a\ < ^. Тоді

2 = \(1 a) (—1 + a)\<\1 a\ + \(1) + a\ < 1 + 1 = 1,

 

тобто 2 < 1. Одержана суперечність доводить розбіжність да­ної послідовності.

Теорема 3 є підсиленням теореми 1 на випадок числових по­слідовностей. У теоремі 1 стверджується, що функція, яка має границю при x —>■ a, є обмеженою в деякому околі точки a, а не в усій області визначення. Збіжна послідовність є обмеженою в усій області визначення, тобто на множині N.

Теорема 4. Збіжна послідовність має тільки одну грани­цю.

Л Припустимо протилежне, що збіжна послідовність {xn, n Є N} має дві границі a і b. Тоді для елементів xn діста­немо

xn = a + an,   xn = b + Pn,   n Є N,

 

3де an і (3n - елементи нескінченно малих послідовностей {an,n Є N}, {fin,n Є N}. Віднявши від першої рівності другу, одержимо, що an (3n = b a. Оскільки всі елементи нескін­ченно малої послідовності {an (3n, n Є N} дорівнюють одному й тому самому числу b a, то згідно з попереднім b a = 0, тобто a = b.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння