В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 122

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

А(1; 3) =6 6 182 = —288 < 0;

д2f(і, з)                       6     (і, з)    6 ( з)

2 3)дх2                   = 6 ^ ( 1) = —6^^дхду— = 6 ^ (3) = 18;

^f (ду12, 3) = 6 ( і) = —6; А( і; —3) = (6)2 ( 18)2 = —288 < 0;д2f(-3, -1) > дх2

-18; d2f(-3,-1) ' дхду

д 2f (-3, -1) =6

ду2 288 > 0.

f (3,1) = 33 + 3 • 3 •

Отже, функція має два екстремуми: у точці (3; 1) - мінімум, бо —— > 0, fmin= -72;

б   д2 f (-3,-1) < 0 f

максимум, бо-----------   < 0, fmax

(-3)3 + 3 •

12 - 30 • 3 - 18 • 1

у точці (-3; -1) -

(-3) • (-1)2 - 30 •

(-3) - 18 • (-1) = 72.

1; 3) в

Оскільки Д(1; 3) і Д(-1; -3) від'ємні, то в точках (1; 3) і (-1; -3) функція екстремуму не має.

Зауваження. Якщо функція z = f (х, у) неперервна в об­меженій замкненій області Q, то вона досягає в цій області своїх найбільшого й найменшого значень. У випадку диференційов-ної в Q функції для знаходження найбільшого й найменшого значень f треба знайти стаціонарні точки і обчислити значення функції в цих точках, а також її найбільші та найменші зна­чення на межі області Q. Далі серед усіх цих значень треба вибрати найбільше та найменше.

1

1

+

Приклад 3. Знайти найбільше та найменше значення функції

в крузі одиничного радіуса з центром в початку

1 + у2

1

координат.

(1+ у2)2'

    (1+ у2)2

А Знайдемо частинні похідні

ду

дz ду

дz 2х дх       (1 + х2)2 '

0,

0

Із системи рівнянь

дх

- (1 + х2)
знаходимо, що стаціонарною точкою є (0; 0) і z(0,0)

колі, що визначаєть-1 - х2 у функцію z,

13

2.

Знайдемо критичні точки на межі області ся рівнянням х2 + у2 = 1. Підставивши у2 =

1

дістанемо функцію однієї змінної z =-- +

1 + х2     2 х2

де х Є [-1; 1]. Дослідимо цю функцію на екстремум.Знайдемо похідну z1


2х(2х2 - 1) .
------ т,-- тт77 і прирівняємо її до нуля.

(2 + х2 х4)Тоді одержимо критичні точки на межі області: х = 0, Х2,з = ±—=.

2

Обчислимо значення функції в цих точках, а також на кінцях х = ±1 відрізка 1]: z( 1) = z(1) = 2, z(0) = 2, z ^ ——2)j = z ^———ДІ = ~      ~          3  3

Тепер серед значень z(0,0) = 2, z( 1) = z(1) = 2; z(0) = 2;

x2-\-y2 < 1

=z

(y—^j = Zz ——22^j = 4 вибираємо найбільше та найменше. От­же,    max   z^,y) = z(0,0) = 2,    min   z^,y) = z ^ =, =

z

2, 2

1   7l) = 3 (рис.4)
6.2. Умовний екстремум. У багатьох прикладних зада­чах виникає необхідність досліджувати функцію багатьох змін­них на ектремум за умови, що незалежні змінні задовольняють дєякі додаткові умови, які називаються умовами зв'язку. Та­кого типу екстремум називають умовним.

Приклад 4. Знайти екстремум функції z = х2 + у2, якщо х +

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння