В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 125

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


А Відомо, що прибуток П(x,y) = Pi + P2 C = pix + Р2У C

З умови зв'язку x + y = 15 виразимо y через x і підставимо у функцію П: y = 15 x, П = 40x x2 + 2x(15 — x) + 20(15 x) (15 — x)2 = 80x 4x2 + 75.

Дослідимо функцію П на безумовний (звичайний) екстремум.

Маємо П (x) = 80 8x. Прирівнявши цю похідну до нуля, дістанемо, що xo = 10. Оскільки П (x) = —8 < 0, то у цій точці xo функція П досягає максимуму, причому Пmax = П(10) = 80-10—4-102+75 = 475. Звідси випливає, що функція п має максимум в точці (10; 5) і

Пmax = 475. ►

6.3. Метод найменших квадратів. У багатьох при­кладних задачах виникає необхідність відновлення функції за її значеннями у деяких точках, тобто побудови емшричної фор­мули, яка дозволяє аналітично записати дат вимiрювань, спо­стережень, статистичної обробки результатав експериментав i

т.п.

 

25Одним з найкращих способів отримання такої формули є метод найменших квадратів.

Нехай в результаті досліду одержано таблицю значень функції у = f (x) для n значень незалежної змінної:

 

x

 

Х2

Х3

 

xn

y

yl

y2

y3

 

yn

Припустимо, що точки (xi; yi), 2; y2), (xn, Уп) розмі­щуються приблизно на одній прямій. Це означає, що залеж­ність між x і y близька до лінійної y = ax + b. Підберемо кое­фіцієнти a і b так, щоб пряма y = ax + b лежала по можливо­сті ближче до кожної з точок, які нанесені на площину. Тому, підставляючи значення координат точок у вираз y (ax + b), дістаємо рівності:

yi(axi+b) = 61,   У2—(ax2+b)= 82,       yn—(axn+b) = 6n,

Підберемо коефіцієнти a і b так, щоб ці похибки були мали­ми за абсолютною величиною. Для цього скористаємося мето­дом найменших квадратів. Розглянемо суму квадратів похибок

nn

F(a, b) = ^(Уг (axi + b))2 =62.

 

Тут xi і Уг - задані числа, а коефіцієнти a і b невідомі, тому треба функцію F дослідити на екстремум як функцію двох змінних. Маємо

ду = —2^2г  (axi + b))xi,   = —2^(уг  (axi +

i=i i=i

25Прирівнявши ці частинні похідні до нуля, одержимо лінійну систему двох рівнянь з двома невідомими a і b:

Ця система називається нормальною системою методу найменших квадратів.

Вона має єдиний розв'язок, оскільки її визначник

i=i n

2n xi2 xi

i=i

n

xi

 

 

= n xi i=i


(

n       \ 2       n n

xi = (
i
=i     J         i=i j=idb2

da2

Той факт, що функція F(a,b) у знайденій точці Mo(ao; bo) має мінімум, легко доводиться за допомогою достатньої умови екс­тремуму функції двох змінних. Маємо

 

 

xi,   dadb        xil   -n n

dadb

i=i da2 db2 dadb


i=i
nnОскільки мум.


 

d2F

da2


A = 2^TJ>i xj)2 > С

i=i j=i

 

> 0, то в точці Mo(ao; bo) функція F має міні-253Підставивши знайдені значення ао і бо в рівняння у = ах + b дістанемо лінійну функцію, яка найкращим чином відображає залежність між величинами х і у, одержаними з досліду.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння